第三章复变函数的积分△z = zzk-1,记AS,为zk-iz的长度, =max[△S,]1≤k≤n（4）取极限若Zf(S)Az存在,lim8>0k=1n-0无论如何分割C,S,如何取则称f(z)在C上可积，上述极限值 I为f(z)沿曲线C从A→B的积分,记作f(z)dz.nZf(5r)Azk.i.e.,fc f(z)dz = limS-→>0k=1被积函数积分路径结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 6 0 1 0 lim ( ) n k k k n f z → → = 若 存在， , C k 无论如何分割 如何取 . ., ( ) lim ( ) . 1 0 = → = n k k k C i e f z dz f z , ( ) . ( ) ( ) → C C A B f z dz f z C I f z 从 的积分 记作 则称 在 上可积，上述极限值 为 沿曲线 积分路径 被积函数 1 1 1 , , max{ } k k k k k k k k n z z z S z z S − − = − = ⌒ 记 为 的长度 （4）取极限
第三章复变函数的积分注记作Φ f(z)dz;(1)若C是闭曲线，eb(2)如果(f(z)dz存在,一般不能写成)f(z)dz:(3）用[-f(z)dz表示f(z)沿着曲线C的负向的积分(4) C : t e [a,bl, f(z) = u(t), 则 [c f(z)dz = " u(t)dt.---一元函数定积分的定义结运回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 7 (1) ( ) C f z dz 若 C是闭曲线， 记作 ； b C a (2)如 果 f (z)dz存 在,一般不能写成 f (z)dz; (4) : [ , ], ( ) ( ), ( ) ( ) . = = b C a C t a b f z u t 则 f z dz u t dt -一元函数定积分的定义. (3) ( )d ( ) C f z z f z 用 − 表示 沿着曲线C的负向的积分 注
第三章复变函数的积分3、积分存在的条件1.必要条件( f(z)dz 存在仁f(z) 沿C有界。如果积分2.充分条件将各函数代数化设 =X+iykzk = Zk-Zk-1 = X +iyk-(Xk-1 +iyk-1)=(xh -Xk-1)+i(yk - yk-1) = Axk +iykSh = Sk +ink,f(S) =u(,n)+iv(k,) uk +iv结00回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 8 3、积分存在的条件 1. 必要条件 ( )d ( ) . C 如果 积分 f z z f z C 存在 沿 有界 2. 充分条件 , k k k = + i 1 1 1 ( ) k k k k k k k z z z x iy x iy = − = + − + − − − ( ) ( ) = k − k−1 + k − k−1 x x i y y , k k = x + iy 将各函数代数化 , k k k 设 z x iy = + ( ) ( , ) ( , ) k k k k k k k f u iv u iv = + +
第三章复变函数的积分S, =Zf(S)AzkE[u(5k,nk)+ iv(5k,nk)(Axh + iAyk)k=1E[u(5k,nk)Ax, -v(5e,nk)Aye]S.=k=1E[v(5,n)Ax, + u(5k,nk)Ay]k=1因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x,y),v(x,J)均在C上连续即可，且极限分别为udx -vdyvdx + udy结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 9 1 ( ) n n k k k S f z = = = = + + n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( ) 1 1 [ ( , ) ( [ ( , ) ( , ) ] , ) ] n n k k k k k n k k k k k k k k k v u x x u y S v i y = = = + + − 因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极 限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x, y), v(x, y)均在C上连续即可，且极限分别为 − C udx vdy + C vdx udy
第三章复变函数的积分定理3.1 如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线 C连续,则f(z)沿C可积,且[cf(z)d = J,udx-vdy +ilvdx +udy记忆这是实的第二型曲线积分f(z)=u+iv与dz=dx +idy相乘后求积分得到:f(z)dz = J.(u + iv)(dx + idy) = udx+ivdx+iudy-vdyI udx - vdy + if vdx + udy.结回D束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 10 10 定理 如果 沿曲线 连续,则 沿 可积 且 3.1 ( ) ( , ) ( , ) ( ) , . f z u x y iv x y C f z C = + ( ) C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + + f (z) = u + iv 与dz = dx + idy 相乘后求积分得到: C f (z)dz = + + C (u iv)(dx idy) = + + − C udx ivdx iudy vdy d d d d . = − + + C C u x v y i v x u y 记忆 这是实的第二型曲线积分