第七节可降阶的高阶微分方程 ,n) )=f(,y,,y3n-1) 三、恰当导数方程 四、齐次方程 五、小结思考题
第七节可降阶的高阶微分方程 ◼ 一、 ◼ 二、 ◼ 三、恰当导数方程 ◼ 四、齐次方程 ◼ 五、小结 思考题 ( ) ( ) ( 1) ( , ,..., ) n k n y f x y y − = ( ) ( 1) ( , ,..., ) n n y f y y y − =
y(n=f(x,y( )型 特点:不显含未知函数y及y,…,y4- 解法:令y6)=P(x) 则y4+)=P,y 代入原方程,得 P(x)的(n-k)阶方程 P=f(x,P(x),…,P((x).求得P(x) 将y6)=P(x)连续积分k次,可得通解
代入原方程, 得 解法： 特点： , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及 y y ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = P(x)的(n-k)阶方程 求得 P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 一、 y f x y y 型
例1求方程xy3-y4=0的通解 解设y=P(x) (5 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得P=C1x即y4=C1x 两端积分,得y"=C1x2+C2, 2 y=x5+2x32+3x2+C4x+C5, 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d3x2+d2x+ds
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x 代入原方程 xP − P = 0, 解线性方程, 得 P = C1 x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = P x （P 0） , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d 例 1
n)=∫(y (k) )型 特点:右端不显含自变量 解法:设y=p(y)则y=2.中=n", 中yx 2 d P +P( 代入原方程得到新函数P(y)(n-1阶方程 求得其解为=P(y)=p(y,C1,…,Cn1) 原方程通解为 1,,C,)=x+C n 5
设 y = p( y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = 代入原方程得到新函数 P( y)的(n − 1)阶方程， 求得其解为 原方程通解为 , ( , , , ) 1 1 n n x C y C C dy = + − 特点： 右端不显含自变量x. 解法： ( ) , 2 2 2 2 dy dP P dy d P y = P + , ( ) ( , , , ), = = C1 Cn−1 P y y dx dy ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n 二、 y f y y y 型
例2求方程y”-y2=0的通解 解设y=p(y),则y=p dP dP 代入原方程得yP,-P2=0,即P(y P)=0 小y 小y P=0,可得P=C1y C1υy,原方程通解为y=C2e dx
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x , 原方程通解为 y = C e 1 C y dx dy = 例 2