第六节欧拉柯西近似法 方向场积分曲线 二、欧拉一柯西近似法 三、小结
第六节 欧拉-柯西近似法 ◼ 一、方向场 积分曲线 ◼ 二、欧拉-柯西近似法 ◼ 三、小结
、方向场积分曲线 阶微分方程y=f(x,y 定义1设(1)中右端的函数f(x,y)在区域D内 有定义,那么过D内每一点M(x,y)作一条以 f(x,y)为斜率的直线,并把向量 τ(x,y)={1,f(x,y)} 所指的方向定义为直线的方向这样,对于D内 每一点(x,y),方程1)都确定一个方向与之对应 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场
一、方向场 积分曲线 设(1)中右端的函数f (x, y)在区域D 内 有定义，那么过D 内每一点M(x, y) 作一条以 f (x, y)为斜率的直线，并把向量 (x, y) = {1, f (x, y)} 所指的方向定义为直线的方向.这样，对于D 内 每一点 (x, y),方 程(1)都确定一个方向与之对应， 于是我们说方程(1)在D内确定了一个方向场． 一阶微分方程 y = f (x, y) (1) 定义1
过D内任一点M(x,y),做一个以M为起点 长度等于九的向量 T ,y {1,f(x,y) √1+f(x,y)2 J 如图所示, 可形象地表示方向场
过D内任一点M(x, y),做一个以M为起点 长度等于的向量 {1, ( , )} 1 [ ( , )] ( , ) 2 0 f x y f x y x y + = 如图所示, 可形象地表示方向场. o x y
定义2方向场中具有同一方向(y=C)的点 的轨迹叫做方程1)的等斜线 等斜线的方程为f(x,y)=C 在这条等斜线上的各点处4x1,C 1+C2 方向场画法适当画出若干条等斜线再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 λτ°,这样即可画出这个方向场
定义2 等斜线的方程为 f (x, y) = C. 在这条等斜线上的各点处 {1, } 1 2 0 C + C = 方向场中具有同一方向( y = C) 的 点 的轨迹叫做方程(1)的等斜线． 方向场画法 适当画出若干条等斜线,再在每条 等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量 0 ,这样即可画出这个方向场
例1画出方程y=√x2+y2所确定的方向 场示意图 解方程的等斜线为x2+y2=C, 取C=0,0.5,1,1.5,2, 画出五条等斜线,再在 每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量λz",如图方向场
例1 画出方程 2 2 y = x + y 所确定的方向 解 方程的等斜线为 , 2 2 x + y = C 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 画出五条等斜线, 再在 每条等斜线上适当选取 若干个点画出对应的向 量 0 ,如图方向场. o x y 场示意图