例如f(x) 13x0 ≠0 0 在x=0点任意可导,且∫(0)=0(m=0,1,2,…) f(x)麦氏级数为∑0x =0 该级数在(-0,+∞内和函数s(x)=0.可见 除s=0外,f(x)麦氏级数处处不收敛于∫(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
定理2f(x)在点x0的泰勒级数,在U(x0)内收 敛于∫(x)分在U8(x0)内lmRn(x)=0 n→0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数 f(x)=∑ o(x-xo)+r,(x) 0 i R, (x=f(x)-sm,1(x) m s n+1 (x)=∫(x) lim rn (x)=limf(x)-sn(x)=0
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性∵∫(x)-Sn+1(x)=Rn(x lieff(x-s,(x)=limr, (x)=0 n→0 n→0 即 lim s+(x)=∫(x), n→0 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设f(x)在U(x0)上有定义,丑M>0,对 Ⅴx∈(x-R,x+R).恒有f(x)≤M (n=0,1,2,,则f(x)在(x0-R,x+R内可展 开成点x的泰勒级数
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数