第3为 第六章 平面及其方程 一、 平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 四、平面外一点到平面的距离 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两个平面的夹角 平面及其方程 第六章 四、平面外一点到平面的距离
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x,yo,2)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程. 任取点M(x,y,z)∈Π，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 MoM=(x-y-02-20》 A(x-x0)+B(y-o)+C(2-0)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Π的法向量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 O z y x M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n (A, B, C), M0M n M0M n 0 则有 故 称 n为平面 的
例6.3.2求过两点M,(1,0,-1),M2(-2,1,3),并且与向量 ā=2-升平行的平面的方程 解：取法向量为 n=a×MM2={2,-1,1}×{-3,14} i 2 -1 ={-5,-11,-1 -31 4 =-{5,11,1} 又M(1,0,-1),则所求平面的方程为 5(x-1)+11(y-0)+(z+1)=0, 即 5x+11y+z-4=0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 i j k 例6.3.2 求过两点 (1,0, 1), 又M1 {5,11,1}. 解: 取法向量为 a = 2i－j＋k平行的平面的方程. 则所求平面的方程为 2 1 1 3 1 4 n {2, 1,1} { 3,1,4} aM1 M2 {5,11,1}
二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 Ax+By+C=+D=0(42+B2+C2+0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,0,20,则 Axo+BYo+Czo+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为n=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 式方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般式方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax By Cz D 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 B y0 C z0 D 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A B C ② n (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 式方程
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面： ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴； ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面 ·Ax+D=0表示平行于yOz面的平面； ·By+D=0表示平行于zOx面的平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D = 0 表示 Ax By Cz D 0 ( 0) 2 2 2 A B C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. n (0,B,C) i