为f(x)在点x的n阶泰勒多项式，称f(k(x,)福(k =0,1,..,n)k!为泰勒系数.T,(x）确实是我们所需要的多项式定理 6.8设f(x)在x=xo处有n阶导数，则f(x)=T,(x)+o((x-x,)")即(x-xo)+I"(x)(x)= f(x0)+ I(x0)1(x-x) +2!1!f(m(xo)(x- x,)" + o(x-x,)")...+(3)n!前页后页返回
前页 后页 返回 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称 为泰勒系数. T ( x) 确实是我们所需要的多项式. n ( ) 0 ( ) ( 0 , 1 , , ) ! k f x k n k = 定理 6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 ( ) ( ) (( ) ) , 0 n f x = Tn x + o x − x 即 − + − + = + 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) 1! ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x f x f x ( ) (( ) ). ! ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x o x x n f x + − + − (3)
证设 R,(x)= f(x)-T,(x), Q,(x)=(x-x)"只需证R,(x)0limQn(x)x-→xo因为由（1）式R,(x)= R'(xo)=...= R,("(xo)= 0Q,(x,) = Q'(x,) =...= Q(n-l'(x,) = 0 , Q.()(x) = n!则当xeU(x)且x→x,时,连续使用n-1次洛必达法则，得到后页返回前页
前页 后页 返回 只需证 0 . ( ) ( ) lim 0 = → Q x R x n n x x 因为由（1）式， ( ) ( ) ( ) 0, 0 ( ) R x0 = R x0 = = R x = n n n n ( 1) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ! n n Q x Q x Q x Q x n n n n n − = = = = = 则当 xU (x0 ) 且 x → x0 时， 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 证 设 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 n Rn x = f x −Tn x Qn x = x − x
R, (n-1)R',(x)1 (x)R,(x)limlimlim+-xo n(x- x,)n-1 =x→x,n!(x-Xo)x-xo (x-Xo)"[ flu-1 (x) - f(-(x0) - f(m(x0) - 0.1limn!x-→xox-Xo(3)式称为f(x)在点x处的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式注1即使f(x)在点x，附近满足(4)f(x) = P,(x)+o((x-x,)")前页后页返回
前页 后页 返回 !( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 ( 1) 1 0 0 0 0 0 n x x R x n x x R x x x R x n n x x n n x x n n x x − = = − = − − → → − → ( ) 0. ( ) ( ) lim ! 1 0 ( ) 0 0 ( 1) ( 1) 0 = − − − = − − → f x x x f x f x n n n n x x (3) 式称为 f (x) 在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. 注1 0 即使 f (x) 在点 x 附近满足 ( ) ( ) (( ) ) (4) 0 n f x = Pn x + o x − x
也不能说明P,(x)一定是f(x)的n阶泰勒多项式比如f(x)= D(x)· xn+l , P,(x)= 0,在x,=0处满足(4)但是当 n>1时，P,(x)不是f(x) 在点Xo=0 的 n 阶泰勒多项式,原因是 f(μ)在点x=0的高阶导数（一阶和二阶以上）都不存在，所以无法构造n阶多项式后页返回前页
前页 后页 返回 也不能说明 P ( x) n 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. ( ) ( ) , ( ) 0, 1 = = + f x D x x Pn x n 在 x0 = 0 处满足 (4) 但是当 n > 1 时, P ( x) n 不是 f (x) 在点 的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x) x0 = 0 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 比如 在,所以无法构造 n 阶多项式
注2若f(x)在点xo有n阶导数，则只有惟一的多项式（泰勒多项式T,(x)）满足f(x) = T,(x)+o((x-x,)")注3 可以证明对任意一个n次多项式P(x)，存在U(x,), 使得 f(x)-T,(x)/≤L f(x)-P,(x)/, xeU(x)这也就是说,T,(x)是逼近f(x)的最佳n次多项式后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( ) (( ) ). 0 n f x =Tn x + o x − x 注3 可以证明对任意一个n 次多项式 P (x) , n 存在 ( ), U x0 使得 | ( ) ( )| | ( ) ( )| , ( ). x P x x U x0 f x T x f − n − n 这也就是说, T (x) n 是逼近 f (x) 的最佳 n 次多项式. 注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多 项式 ( 泰勒多项式 Tn (x) ) 满足: