《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等 证： 当n=2时， a1412=a141 结论成立 21a2z122z 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D和D', 分别按第一行和第一列展开，得 0-24(-7, .2j-1 2j+1 . . 0-1 +1 nn

性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证： 11 12 11 21 21 22 12 22 a a a a a a a a 当n=2时，  ，结论成立. 1 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) . . ( 1) . . . . . . . . n j j ij j j j n n j j j n nj nj nn D a M a a a a a a a a a               假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D和 ， 分别按第一行和第一列展开，得 D

21 an D-2-g-24-I" 2j-1 . j-1 j-1 +1 j+1 由于Mn和M写是-1阶行列式，且M是M,的转置 行列式，根据假设M=M;，于是D=D' 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立

21 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 . . . . . . . . . ( 1) ( 1) . . . . . . . . . i n n n j ij nj j j j ij j j j j ij nj n in nn a a a a a a D a M a a a a a a a                   Mij Mij  Mij M M ij ij   Mij 由于 和 是n-1阶行列式，且  是 的转置 行列式，根据假设 ，于是 D D  说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立

性质2互换行列式的两行（列，行列式变号， 证：用数学归纳法 当n=2时，1412 1222 结论成立 L21L22 411L21 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D 1 12 u an D= ast as2 am an2

证： 用数学归纳法. 11 12 12 22 21 22 11 21 a a a a a a a a 当n=2时，   ，结论成立. 假设对n-1阶行列式结论成立.对n阶行列式D 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 11 12 1 1 2 ln 1 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n l l s s sn n n nn a a a a a a D a a a a a a 

互换D中的第s行和第行，得 au 12 asi as2 Asn D1= an 12 . an 0n2 Ann

互换D中的第s行和第l行，得 11 12 1 1 2 1 1 2 ln 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n s s sn l l n n nn a a a a a a D a a a a a a 