第7章群、环和域 证明：由表7.1可以看出，*运算 表7.1 是封闭的和可结合的，在G中有关于 米 e a 的单位元e。G中每个元素都是自 e e a 己的逆元，即el=e,al=a,b-l=b, c1=c。所以<G,是群。 a a e b 例7.2中的群<G,>叫做Klein四 b b a 元群，简称四元群。Klein四元群有 b e 以下4个特点： (I)e为G中的单位元。 (2)*运算是可交换的。 (3)G中每个元素的逆元都是自己。 (4)a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素。 由于群G中有么元且每一个元素都有逆元，所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x=e,x∈G,n∈I, 定义xn=(x1)y
第7章 群、环和域 证明：由表7.1可以看出，*运算 是封闭的和可结合的，在G中有关于 *的单位元e。 G中每个元素都是自 己的逆元，即e –1=e，a –1=a，b –1=b， c –1=c。所以G, *是群。 例7.2中的群G,*叫做Klein 四 元群，简称四元群。Klein 四元群有 以下4个特点： 表7.1 * e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ⑴ e为G中的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。 ⑶ G中每个元素的逆元都是自己。 ⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第 三个元素。 由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定 义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x 0=e，xG，nI +， 定义x –n＝(x –1 ) n
第7章群、环和域 这样以来，可以将62节中关于x”的定义推广为： x0-e xl=x x+l=xn米x n为正整数。 xn=(x-1)n n为正整数。 定义7.2.2设<G,>是群，如果它的子代数<H,>也是群， 则称<H,>是<G,>的子群。 定义7.2.3设<G,>是群，如果G是有限集，则<G,>称 为有限群，如果G是无限集，则<G,>称为无限群。基数G 称为群<G,>的阶数，简称群G的阶 定理7.2.1群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，惟一元素为么元。设G>1且群 <G,*>有零元0。那么对群中任何元素x∈G,都有x*0*x =0,所以，零元0就不存在逆元，这与<G,>是群相矛盾
第7章 群、环和域 这样以来，可以将6.2节中关于x n的定义推广为： x 0=e x 1=x x n+1=x n *x n为正整数。 x –n＝(x –1 ) n n为正整数。 定义7.2.2 设<G,*>是群，如果它的子代数<H,*>也是群， 则称<H,*>是<G,*>的子群。 定义7.2.3 设<G,*>是群，如果G是有限集，则<G,*>称 为有限群，如果G是无限集，则<G, *>称为无限群。基数|G| 称为群<G,*>的阶数，简称群G的阶。 定理7.2.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，惟一元素为幺元。设|G|＞1且群 <G,*>有零元θ。那么对群中任何元素xG，都有x∗θ=θ∗x =θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群相矛盾
第7章群、环和域 定理7.2.2设<G,>是群，对于a,b∈G,必存在惟一的 x∈G,使得a*x=b。 证明：设a的逆元是awl,令x=al*b,则 a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b 若另有一解x1,满足a*x1=b,则a1*(a*x1)=a1*b 即x1=a-1*b=xo 定理7.2.3设<G,>是群，对于任意的a,b,c∈G,如果有 a*b=a*c或者b*a=C*a,则必有b=c。 证明：设ab=ac,且a的逆元是a-l,则有 a-l*(a*b)=a-1*(a*c) (a-1*a*b=(a-1*a)*c 即e*b=e*c,故b=c;当b*a=c*a时，同样可证得b=c。 “对于任意的a,b,c∈G,如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则 必有b=c。”就是第6章讲的消去律。所以，定理7.2.3可理解 为：群中满足消去律
第7章 群、环和域 定理7.2.2 设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一的 xG，使得a∗x=b。 证明：设a的逆元是a –1 ，令x= a –1∗b，则 a∗x=a∗(a –1∗b)=(a∗a –1 )∗b=e∗b=b 若另有一解x1，满足a∗x1=b，则a –1∗(a∗x1 )=a –1∗b 即x1=a –1∗b=x。 定理7.2.3 设<G,*>是群，对于任意的a,b,cG，如果有 a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则必有b=c。 证明：设a∗b=a∗c，且a的逆元是a –1 ，则有 a –1∗(a∗b)=a –1∗(a∗c) (a –1∗a)∗b=(a –1∗a)∗c 即e∗b=e∗c，故b=c；当b∗a=c∗a时，同样可证得b=c。 “对于任意的a,b,cG，如果有a∗b=a∗c或者b∗a=c∗a，则 必有b=c。 ”就是第6章讲的消去律。所以，定理7.2.3可理解 为：群中满足消去律
第7章群、环和域 定理7.2.4在群<G,>中，除么元e外，不可能有别的幂 等元。 证明：因为e*e=e,所以e是幂等元。设a∈G且aa=a, 则有a=e*a=(al*a)*a=a-l(a*a)=a-1*a=e 即a=e。 7.2.2阿贝尔群 定义7.2.4设<G,>是群，如果二元运算*是可交换的， 则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群<I,十>中的加法运算是可交换的，所以，整 数加法群是阿贝尔群，群<R0,>中的乘法运算也是可交 换的，所以，<R0},>也是阿贝尔群。 定理7.2.5设<G,>是群，则<G,>是阿贝尔群的充要条件 是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 证明：→设<G,>是阿贝尔群，下证对任意的a,b∈G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a*(b*b)
第7章 群、环和域 定理7.2.4 在群<G,*>中，除幺元e外，不可能有别的幂 等元。 证明：因为e∗e=e，所以e是幂等元。设aG且a∗a=a， 则有a=e∗a=(a –1∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a –1∗a=e 即a=e。 7.2.2阿贝尔群 定义7.2.4 设<G,*>是群，如果二元运算*是可交换的， 则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整 数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。 定理7.2.5设<G, *>是群，则<G, *>是阿贝尔群的充要条件 是对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 证明：设<G, *>是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
第7章群、环和域 对任意的a,b∈G,有a*b=b*a,因此， (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=u*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) =设对任意a,bEG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),下证 <G,>是阿贝尔群。 a*b=ea*b)*e =(a-1*a*(a*b)*(b*b1) =a-1*(a*(a*b)*b)*b-l =a-1*(a*a*(b*b)*b-1 =1*(a*b)*(a*b)*b-1 =(a-1*a*b*a)*(b*b-l) =e*(b*a)*e=b*a 即得a*b=b*a,因此群<G,>是阿贝尔群。 返回章目录
第7章 群、环和域 对任意的a, bG，有a*b=b*a，因此， (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 设对任意a, bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，下证 <G,*>是阿贝尔群。 a∗b=e*(a*b)*e =(a –1*a)*(a*b)*(b*b –1 ) =a –1∗(a∗(a*b)*b)*b –1 =a –1*((a*a)*(b*b))*b –1 =a–1∗((a*b)*(a*b))*b –1 =(a –1∗a)*(b*a)*(b*b –1 ) =e*(b*a)*e=b*a 即得a*b=b*a，因此群<G,*>是阿贝尔群。 返回章目录