第7章群、环和域 7.3子群 7.3.1子群的概念 定义7.3.1设<G,>是群，H是G的非空子集，如果<H> 也构成群，则称<H,*>是<G,父的子群。 由子群的定义可以看出，如果H是G的非空子集，考察 <H,是否是群<G,的子群，应当验证： (1)运算*在上封闭。 (2)群G中的么元e∈H。 (3)Vx∈S,有xl∈H 定理7.3.1设<G,>是一个群，<H,>是<G,>的子群 则<G,>中的么元必定也是<H,>中的么元。 证明：设<H,*>中的么元为e,对于任意aeHCG,有 e *a-a-e*a 由消去律得e1=e
第7章 群、环和域 7.3 子群 7.3.1子群的概念 定义7.3.1 设<G, *>是群，H是G的非空子集，如果<H, *> 也构成群，则称<H, *>是<G, *>的子群。 由子群的定义可以看出，如果H是G的非空子集，考察 H,*是否是群G,*的子群，应当验证： ⑴运算*在H上封闭。 ⑵群G中的幺元eH。 ⑶xS，有x –1H 定理7.3.1 设<G, *>是一个群，<H, *>是<G, *>的子群， 则<G, *>中的幺元e必定也是<H, *>中的幺元。 证明：设<H, *>中的幺元为e1，对于任意aHG，有 e1 *a=a=e*a 由消去律得e1=e
第7章群、环和域 如果<G,是群，其中e单位元。{e和G都是G的非空子 集，<了}，>和<G,也都构成群，它们是<G,的子群，这 是两个特殊的子群。 定义7.3.2设<G,*是群，<了e,和<G,是<G,的 子群，称为群<G,>的平凡子群。 7.3.2子群的判定 用定义证明<H,>是群<G,松的子群，要验证三个条件。 下面的定理说明，在有限群中，只需验证一个条件也能证明 <H,>是群<G,的子群。 定理7.3.2设<G,>是群，A是G的非空子集，如果A是 个有限集，只要运算*在A上封闭，则<A,>是<G,>的子群。 证明：<G,是群，则<G,>是半群，由定理7.1.1知 <A,>是半群。以下证明A中有么元且A中每一个元素都有逆 元。 (1)证明A中有么元e
第7章 群、环和域 如果G,*是群，其中e单位元。e和G都是G的非空子 集，e,*和G,*也都构成群，它们是G,*的子群，这 是两个特殊的子群。 定义7.3.2 设G,*是群，e,*和G,*是G,*的 子群，称为群G,*的平凡子群。 7.3.2 子群的判定 用定义证明H,*是群G, *的子群，要验证三个条件。 下面的定理说明，在有限群中，只需验证一个条件也能证明 H,*是群G,*的子群。 定理7.3.2 设G, *>是群，A是G的非空子集，如果A是一 个有限集，只要运算*在A上封闭，则<A, *>是G, *>的子群。 证明：G,*是群，则G,*是半群，由定理7.1.1知 A, *是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆 元。 ⑴ 证明A中有幺元e
第7章群、环和域 Vbea,因为运算*在a上封闭，所以 b2=b*b∈a b3=b2*b∈a 。。0 由于A是有限集，所以必存在正整和j,不妨设<j,使 得b=b 从而有 b=b*b-i和b=b-i*b 根据群中的消去律得b-i=e,即b-是群<G,*>的么元。且 这个么元也在G的非空子集A中。 (2)证明S中每一个元素都有逆元。 如果j-i>1,那么bi=b*b-i1和bi=b1*b,即b1是b 的逆元，b1=b-i-1且b-i-1∈A。 如果j=1,b=b-i,那么b是么元。所以b1=b。 【例7.3】求群<N,十。>的所有非平凡子群
第7章 群、环和域 ba，因为运算*在a上封闭，所以 b 2=b*ba b 3=b 2*ba … 由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设i＜j，使 得b i=b j 从而有 b i=b i*b j–i和b i=b j–i*b i 根据群中的消去律得b j–i=e，即b j–i是群G,*的幺元。且 这个幺元也在G的非空子集A中。 ⑵ 证明S中每一个元素都有逆元。 如果j–i＞1，那么b j–i=b*b j–i–1和b j–i=b j–i–1*b，即b j–i–1是b 的逆元，b –1= b j–i–1且b j–i–1A。 如果j–i=1，b=b j–i ，那么b是幺元。所以b –1= b。 【例7.3】求群<N6 ,＋6>的所有非平凡子群
第7章群、环和域 解：作N0,1,2,3,4,5} 表7.2 上模6加法十。的运算表 0 1 2 3 4 5 如表7.2所示。取N的子集 0 0 1 2 3 4 5 S0,2,4}和S20,3},它 1 1 2 3 4 5 0 们的运算表是表7.3和表7.4。 2 2 3 4 5 0 1 从表中可以看出，模6加法 3 3 4 5 0 1 2 +6在S,和S,上封闭。所以 4 4 5 0 1 2 3 <S1,十6>和<S2,十6>是群<V6 5 5 0 1 2 3 4 +。>的子群 。 表7.4 表7.3 +6 0 2 4 +6 0 3 0 0 2 4 0 0 3 2 2 4 0 3 3 0 4 4 0 2
第7章 群、环和域 解: 作N6 =0,1,2,3,4,5 上模6加法＋6的运算表， 如表7.2所示。取N6的子集 S1 =0,2,4和S2 =0,3，它 们的运算表是表7.3和表7.4。 从表中可以看出,模6加法 ＋6在S1和S2上封闭。所以 <S1 ,＋6>和<S2 ,＋6>是群<N6 , ＋6>的子群。 表7.2 +6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 表7.3 +6 0 3 0 0 3 3 3 0 表7.4 +6 0 2 4 0 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2
第7章群、环和域 定理7.3.3设<G,>是群，H是G的非空子集，如果对于H 中的任意两元素a和b有bl∈H,则<H,>是<G,>的子群。 证明：首先证明G中的么元e也是H中的么元。 任取H中的元素a,因为aEHCG,所以e=a*aleH且 a*e=e*a=a,即e是H中的幺元。 其次证明在H中的每一元素都有逆。对任意a∈H,因为 eeH,所以e*a-l∈H,即aleH。 最后证明*在H上封闭。对任意的a,beH,由上可知 b-leH,而b=(b-l)-l,所以a*b=a*(b-l)-1eH。 因此，<H,>是<G,*>的子群。 7.3.3元素的阶及其性质 定义7.3.3设<G,是群，a是G中的元素。如果存在正整 数n,使得a=e,则称元素a为有限阶元素，满足上述条件的 最小正整数n称为元素a的阶数，记为la=n;如果不存在这样 的正整数n,则称a为无限阶元素
第7章 群、环和域 定理7.3.3 设G, *>是群，H是G的非空子集，如果对于H 中的任意两元素a和b有a*b –1H，则<H, *>是G, *>的子群。 证明：首先证明G中的幺元e也是H中的幺元。 任取H中的元素a，因为aHG，所以e=a*a –1H且 a*e=e*a=a，即e是H中的幺元。 其次证明在H中的每一元素都有逆。对任意aH，因为 eH，所以e*a –1H，即a –1H。 最后证明*在H上封闭。对任意的a,bH，由上可知 b –1H，而b=(b –1 ) –1 ，所以a*b=a *(b –1 ) –1H。 因此，H, *>是G, *>的子群。 7.3.3 元素的阶及其性质 定义7.3.3 设G, *是群，a是G中的元素。如果存在正整 数n，使得a n=e，则称元素a为有限阶元素，满足上述条件的 最小正整数n称为元素a的阶数，记为|a|=n；如果不存在这样 的正整数n，则称a为无限阶元素