计算机类本科规划教材：《离散数学》课程配套电子教案（PPT课件讲稿）第7章 群、环和域

第7章群、环和域 若<G,为独异点，且*是可交换的，则称<G,为可换 的独异点。 例如，设A是任一集合，P(A)是A的幂集合。集合并运算 U在P(A)上是封闭的，并运算U的单位元O∈P(A),所以半 群<P(A),U>是独异点；交运算∩在P(A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元A∈P(A),所以半群<P(A),∩>也是独异点。 显然，并运算U和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3设<G,是可交换的独异点，H为其所有幂等 元的集合，则<H,>为独异点。 证明：a,beH,于是a*a=a,b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a=a*(b*b)*a a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是*beH,即*在H上封闭，显然HcG,根据定理7.1.1， <H,是半群。 因e*e=e,故e∈H。所以<H,>为独异点

第7章 群、环和域 若G, *为独异点，且*是可交换的，则称G, *为可换 的独异点。 例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。 显然，并运算∪和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3 设G, *是可交换的独异点，H为其所有幂等 元的集合，则H, *为独异点。 证明：a,bH，于是a*a=a，b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a =a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是a*bH，即*在H上封闭，显然HG，根据定理7.1.1， H, *是半群。 因e*e=e，故eH。所以H, *为独异点

第7章群、环和域 定理7.1.4设<G,*>是独异点，则在*的运算表中任何两行 两列都不相同。 证明：先证明任何两列不相同。 设运算*的单位元是e∈G,xeG,yeG,xy 因为e*x=x,e*=y,所以e*xe*y,这说明e所在行的元 素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何 两列是不相同的，至少所在行互不相同。 类似地可证任何两行是不相同的。 前面说过，<N,十>和<N×>是半群。根据表6.1和表 6.2, N4上的模4加法+4有单位元0，N4上的模4乘法×4有单位 元1，所以<N4,+4>和<N4,×4>都是独异点。在+4和×，运算表 中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。 定理7.1.5设<G,>是独异点，Va,b∈G且a,b均有逆元， 则

第7章 群、环和域 定理7.1.4 设G, *是独异点，则在*的运算表中任何两行 两列都不相同。 证明：先证明任何两列不相同。 设运算*的单位元是eG，xG，yG，x≠y 因为e*x=x， e*y=y，所以e*x≠e*y，这说明e所在行的元 素是两两互不相同的且都是G的元素。故在*的运算表中任何 两列是不相同的，至少e所在行互不相同。 类似地可证任何两行是不相同的。 前面说过，<Nk ,＋k>和<Nk ,×k>是半群。根据表6.1和表 6.2，N4上的模4加法＋4有单位元0，N4上的模4乘法×4有单位 元1，所以<N4 ,＋4>和<N4 ,×4>都是独异点。在＋4和×4运算表 中任何两行两列都不相同。参看表6.1和表6.2。 定理7.1.5设<G, *>是独异点，a,bG且a, b均有逆元， 则

第7章群、环和域 (1)(a1)1=a (2)a*b有逆元，且(a*b)1=b1*a1 证明：(I)因a*al=al*a=e,故(awl)l=a (2)因(a*b)*(b1*arl)=(a*(b*b1)*a1 =a*e*al=a*al=e 又 (b1*ar1)*(a*b)=(b1*a1)*(a*b) =b1*(am1*a)*b=b1*e*b=b-1*b=e 故 (a*b)-1=b-1*a1 定义7.1.4设<G,>是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则侧称半群<G,>为由a所生成的循环 半群，而a称为半群<G,>的生成元素，并记(a。 定理7.1.6一个循环半群一定是可换半群

第7章 群、环和域 ⑴ (a –1 ) –1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b) –1=b–1*a –1 证明：⑴ 因a*a –1=a–1*a=e，故(a –1 ) –1=a ⑵ 因(a*b)*(b –1* a –1 )=(a*(b*b –1 )*a –1 =a*e*a –1=a*a –1=e 又 (b –1* a –1 )*(a*b)=(b –1*a –1 )*(a*b) =b–1*(a –1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e 故 (a*b) –1=b–1*a –1 定义7.1.4 设<G,*>是半群，如果它的每个元素均为G 的某元素a的某一方幂，则称半群<G,*>为由a所生成的循环 半群，而a称为半群<G,*>的生成元素，并记(a)。 定理7.1.6 一个循环半群一定是可换半群

第7章群、环和域 证明：设<G,>为由a所生成的循环半群，，y∈G,则 x=am,y=a”,于是 x*y=aman=amin=an+m =anxam=y*x 即<G,>是可换半群 7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质 定义7.2.1设<G,是代数系统，其中，G是非空集合， *是G上二元运算。如果 (I)运算*在G上是可结合的。 (2)运算*的单位元eeG。 (3)VX∈G,有x1eG。 则称<G,>为群。有时也可将群<G,简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点 是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录

第7章 群、环和域 证明：设<G,*>为由a所生成的循环半群，x, yG，则 x=am ，y=an ，于是 x*y=am*a n=am+n=an+m =an*a m=y*x 即<G, *>是可换半群。 7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质 定义7.2.1 设G,*是代数系统，其中，G是非空集合， *是G上二元运算。如果 ⑴运算*在G上是可结合的。 ⑵运算*的单位元eG。 ⑶xG，有x –1G。 则称G, *为群。有时也可将群G, *简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点 是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录

第7章群、环和域 普通加法十在I上是封闭的和可结合的，在中有关于加 法的单位元0，VxeI,有xl=-xeI,所以<L,+>是群。该群 叫做整数加法群。 乘法在Q0}上也是封闭的和可结合的，在Q0}中有 关于乘法的单位元1，x∈Q0},有x1=1∈Q0},所以 <Q0},>是群。 X 用同样的办法可以证明<R,十>是群，其中0是单位元， Vx∈R,xX1=-x∈R。群<R,十>叫做实数加法群；但<R,>不 是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而<R0,> 是群，其中1是单位元，x∈R0,有x1=∈R-0Y。 【例7.2】设G=了e,a,b,c,表7.1给出了*的运算表。证明 <G,>是群

第7章 群、环和域 普通加法＋在I上是封闭的和可结合的，在I中有关于加 法的单位元0，xI，有x –1＝–xI，所以I,＋是群。该群 叫做整数加法群。 乘法·在Q-0上也是封闭的和可结合的，在Q-0中有 关于乘法的单位元1，xQ-0，有x –1＝ Q-0，所以 Q-0,·是群。 用同样的办法可以证明R,＋是群，其中0是单位元， xR，x –1＝–xR。群R,＋叫做实数加法群；但R,·不 是群，因为对普通乘法，0的逆元是不存在的；而R-0,· 是群，其中1是单位元，xR-0，有x –1= R-0。 【例7.2】设G＝e,a,b,c，表7.1给出了*的运算表。证明 G,*是群。 x 1 x 1