由这两个引理,我们可得下面的定理 定理1:假设』(x,M(x)在矩形城G:a<x<b<y<d内连续可微, 则M(x)+Mx,)=0为怡当方程的充分必要条件是=. ay ax
证明:(必要性)设M(xx+Mx,y)=0为恰当方程,即 存在可微函数(x使得d(x)=M(x)+Mx),又显然 au dUxy)=ax+--中, 于是 0. au ax+一中≡M(x,y)x+Mxy)中 ax ay 由成ψ的任意性,得到 au M(x, y), au x(r,y) 将上两式分别对,x求偏导数,得到4 a2u aM 8u aN ay ax a away ax 由,N的连续性及引理1,可得=P,故=, ay ax ayax
(充分性)[分析:如果MxM(xy)满足=,我 们要证明M(x)dx+M(x)=0为怡当方程,即存在可微还数U(x使 得 dU(y)=M(xy)ax+M(xy冲,中 下面我们在证明M(x)+M(x,y)中=0为恰当方程的同时,求出(xy 这种证明方法在数学上称为构造性证明]
因为所求的x应满足=M(x31m).设(x%)∈G, au x 在等式 au =M(x)中,将y看作参数,则 ax U(xy)=∫M(xy)x+(),其中wy)为y的任意连续可微函数, 为确定xy,只需确定υ)即可.为确定),我们注意到(x,y还 应满足 ac Mxy),将 U(x,y)=JM(, y)dx +o()+ 代入,得到 JM(*, y)dx +o()=N(x,y)+ x
再由条件=N,得到 ax N,(x,y)dx +o()=N(r, y) 对∫xy),利用 Newton-Leibnitz公式,于是上式变为 N(x, y)-N(*o, y)+o()=N(, y) 化简后,得到 p()=N(o, D)