对于恰当方程,我们有下面的结果 命题1:如果M(xy)ax+Mxy)=0为恰当方程,即存在U(xy)使得 du(x, y)=M(x, y)dx +N(x, y)dy 则U(x=C为方程M(x+Mxy)=0的通解,这里C为任意常数
证明:只需证明U(xy=C为M(x川)ax+Mxy)=0的解,对任意的常 数C,设函数方程U(x=C确定的隐函数为y=(,),于是, U(x,,C)≡C,两边关于x微分,得到d(x,以(x,C)≡0,即 M(,ox, C))dx+N(, p(x, C)do(a, C)=0+ 故y=@(x,C为 M(x, y)dx+N(x, y)dy=0+ 的解,因为c为任意常数,所以Ux=C是 M(x, y)dx+N(a, y )dy =0 的通解
例1:求方程yx+x=0的通解 解:因为列)=x+x,所以yax+x=0为怡当方程,且通解为
问题:如何判断M(x,y)ax+M(xy)=0是否为恰当方程?如果它是恰 当方程,如何求U(xy?4
为解决这个问题,我们先回忆数学分析中的两个重要结果: 引哩理1:如果二元函数∫(x,y)的两个混合偏导数f在点(x)连续, J(邓)=f(xya)· 引理2:若M(x,Mxy)在矩形城G:a<x<b,<y<d内连续可微,则 含参量的积分1()=M(xy)在(c)可微,且 中 I()=a1M(xy)x=Mx冲