Liapunov第二方 法
Liapunov第二方 法
、按华性近爆判海非续性袋分方禄解的稳定性的缺陷 sin y=xt In y +9=x x(x y=x-yx+y 线性化系统为: 、考虑无阻力数学摆 x sIn x
一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷 ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = + + + = − + + + sin . 1, sin . sin , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 r r r x y y x y x y x y x y x x y k ( ) ( ) = − = = − + = − − + . 1, . , 2 2 3 2 2 y x y x y r r x y x x y 线性化系统为： = = − . , y x x y 二、考虑无阻力数学摆 = − = sin . , x l g y x y
ydy=- sin xdx=y+9(1-coS x)=C 2I 取函数 V(x,y) )=y2+2(1-cosx) 2 性质:1.(0,0)=0 当0<x<兀,y∈R\0时,(x,y)>0 心12(-cosx)=c(0<c<1)为一族闭曲线且随 c→0t,闭曲线收缩到原点 dv(x(o),y(t) =V(x(),y()x+V、(x(t),y()j dt y(tsin x(o)+y(o sin x(=0
(1 cos ) . 2 1 sin 2 x c l g xdx y l g ydy = − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin ( ) ( )( sin ( )) 0. ( , ) ( , ) ( , ) = + − = + x t l g y t x t y t l g V x t y t x V x t y t y dt dV x t y t x y 取函数 性质: 2. 0 , \ {0} , ( , ) 0. 1. (0,0) 0. = x y R V x y V 当 时 0 , . (1 cos ) (0 1) , 2 1 2 闭曲线收缩到原点 为一族闭曲线 且随 → + + − = c x c c l g y (1 cos ) 2 1 ( , ) 2 x l g V x y = y + −
从t到t积分得 T(x()y()=V(x(0),y(o) →相平面上经过曲线(x,y)=(x(0)y( 上的点轨线将沿此曲线走 思考:d(x()y() <0(≥0)? Liapunovν第二方法思想:构造特殊函数,通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性 特殊函数 Liapunov函数 Liapunovν第一方法:直接把解表示成级数形式
( ( ), ( )) ( ( ), ( )). 0 0 0 V x t y t V x t y t t t = 从 到 积分得 ( ) ( ) . ( , ) ( , ) 0 0 上的点轨线将沿此曲线走 相平面上经过曲线V x y = V x t y t ( ) ( ) 0 ( 0) ? ( , ) : dt dV x t y t 思考 Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨 线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性． 特殊函数 Liapunov函数 Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式
、 Liapunov第二方法的一般理论 d=(x) (6.34) 其中 x1 f1(x1 n x f2(x,x2,…xn 142 x f(0)=0.f(x)在某区域G:|≤A为正常数内 有连续偏导数
三、 Liapunov第二方法的一般理论 ( ) (6.34) f x dt dx = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( ) : 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n f x x x f x x x f x x x f x x x x x 其中 . (0) 0. ( ) : ( ) 有连续偏导数 f = f x 在某区域G x A A为正常数内