●●● ●●● ●●。 ●00 00● 00●● 第八讲
第八讲
●●● ●●● ●●。 ●00 00● 0●●● 53.2解的延拓
§3.2 解的延拓
问题的提出:对于 Cauchy问题 上节的解的存在唯一性定理告诉我们:在一定的条件下,它的解在区 间x-xsh上存在唯一,其中M=maxf(x,y)h=mina,.根据经 (xy)eR 验,如果f(x,y)的存在区域R越大,则解的存在区间也应该越大.但根 据定理的结果,可能出现这样的情况,即随着f(x,y)的存在区域R增 大,我们能肯定的解存在区间反而缩小
●●● ●●● 例如,对于 Cauchy问题: y(0)=0 当取定义域1=(x,)‖x1y1时,M1=2,=; 当取定义域R2=(x1)x2y≤2)时,M2=8宀 正因为如此,上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部 存在唯一性定理.这种局部性使我们感到非常不满意.而且实践上也 要求解的存在区间能尽量扩大,这样就需要讨论解延拓的问题.为此 先给出下列定义
定义1:对于定义在平面R2上一个区域即连通开集G中的微分方程 31) 设y=g(x是方程31)的定义于区间(a1,B)内的一个解.若存在方程 31)的另一个解y=w(x),它在区间(2,B2)内有定义,并且满足 (1)(a2,月2)3(a1,B1)但(a2,月)≠(a1,B1);“ (2)w(x)=(x),当x∈(1,月)时 则称解y=叭,x∈(a,B是可延拓的,并且称y=v(x)是y=(x)在 (a2,月2)的一个延拓 倘若不存在满足上述条件的解y=v(x),则称解y=∞(x),x∈(,月) 为方程(31)的一个不可延拓解,或饱和解此时把不可延拓解的定义 区间(a1,月1)称为一个饱和区间