第十讲
第十讲
二、解对初值和参数的连续性
二、解对初值和参数的连续性
在应用中,有时还需要研究含参数的微分方程 dy =(x,y,), (, )e =( ,, (, ) dx 设f(x,y,)在C,内连续,且在内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件,即对任意的(x,y,)G,存在以(x,y)为中心的球及L,对任意的 (x,y,)x,)ec,使得f(x,y,)-f(y=-y2},其中是与 无关的正数.于是对任意的∈(a,B),由解的存在唯一性定理, Cauchy 问题 =f(x,y,) dx y() yo 存在唯一解y=p(,)
类似于定理1与推论1有
定理2解对初值与参数的连线依赖性定理对于定义区域G中的徽∠ 分方程 f(x,y, 设f(x,y,)在G内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件.如果(x,y0,n)∈G2且 Cauchy问题 f(r,,, a dx VXo)=yo 的解y=g(x,x0,0,x)在某个闭区间[a,b上有定义,则对任意的g>0,存 在δ=6(;a,b)>0,对任意的(xy,x)∈G1,只要 (x-x)2+(-y)2+(x-)2≤,使得 Cauchy问题 dr"v(x,y,ay y(x)= 的解y=g(xxx)在[ab]上也有定义,且对任意的x∈[a,b,恒成立