银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十二章 常微分方程

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 章节名称： 第十二章 常微分方程 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1.了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分 方程。 4.会用降阶法解下列微分方程：ym=f(x),y”+f(x,y')和y"=f(y,y) 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次 线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 重点： 1可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2可降阶的高阶微分方程=fx),少"+fx,少和y”=f0y,y门 3二阶常系数齐次线性微分方程： 4自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程： 难点： 1齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程： 2线性微分方程解的性质及解的结构定理： 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非 齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 1 页 章节名称： 第十二章 常微分方程 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分 方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ( ) ( ) n y f x  ， y f x y    ( , ) 和 y f y y    ( , ) 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次 线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 重点： 1 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2 可降阶的高阶微分方程 ( ) ( ) n y f x  ， y f x y    ( , ) 和 y f y y    ( , ) 3 二阶常系数齐次线性微分方程； 4 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 难点： 1 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非 齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银川科技职业学院《高签数学》救未 第土二童常微分方程 S12.1微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具 有重要意义.在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据 问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的 关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来， 这就是解微分方程 例1一曲线通过点(L,2),且在该曲线上任一点M(x,)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为yyx).根据导数的几何意义，可知未知函数 =x)应满足关系式（称为微分方程） 密-2x (1) 此外，未知函数=x)还应满足下列条件： =1时，y=2,简记为y儿-1=2 (2) 把(1)式两端积分，得（称为微分方程的通解） y=∫2xk,即=x2+C, (3) 其中C是任意常数 把条件“x=1时，=2”代入(3)式，得 2=12+C, 由此定出C=1.把C=1代入(3)式，得所求曲线方程（称为微分方程满足条件 y以=1=2的解)： =x2+1. 例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶；当制动时列 车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这 段时间里行驶了多少路程？ 解设列车在开始制动后1秒时行驶了s米.根据题意，反映制动阶段列车 运动规律的函数S=()应满足关系式 祭04 (4) 此外，未知函数s=s()还应满足下列条件： D时，-0，=密-20.简记为小0外20 (5) 把(4)式两端积分一次，得 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 2 页 §12 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具 有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据 问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的 关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2  (1) 此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y2 简记为 y|x12 (2) 把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)  y 2xdx  即 yx 2 C (3) 其中 C 是任意常数 把条件“x1 时 y2”代入(3)式 得 21 2 C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x12 的解) yx 2 1 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列 车获得加速度04m/s2  问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这 段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车 运动规律的函数 ss(t)应满足关系式 0.4 2 2  dt d s  (4) 此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0  20 dt ds v  简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5) 把(4)式两端积分一次 得

银川科技职业学院《高整数学》救未 第土二童常微分方程 v=$=-041+C: (6) 再积分一次，得 S=-0.22+C11+C2, (7) 这里C1,C2都是任意常数， 把条件=0=20代入(6)得 20=C1; 把条件s=0代入(7)得0=C2. 把C,C2的值代入(6)及(7)式得 =-0.41+20, (8) s=-0.22+201 (9) 在(8)式中令=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 139-500 再把仁50代入(9)，得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2x502+20x50=500(m). 解设列车在开始制动后1秒时行驶了s米， s"=-0.4,并且=0=0，Sl-0=20 把等式s"=-0.4两端积分一次，得 s=-0.41+C1,即=-0.41+C1(C1是任意常数)， 再积分一次，得 S=-0.2r+C1t+C2(C1,C2都C1是任意常数). 由-0=20得20=C1,于是1=-0.41+20； 由s-0=0得0=C2,于是s=-0.2+201. 令=0，得仁50(s).于是列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2×502+20×50=500(m). 几个概念 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程， 叫微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微 分方程的阶 x3y"+x2y-4y'=3x2, y4-4y"+10y"-12y+5=sin2x, 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 3 页 4 1 0. t C dt ds v    (6) 再积分一次 得 s02t 2 C1t C2 (7) 这里 C1 C2 都是任意常数 把条件 v|t020 代入(6)得 20C1 把条件 s|t00 代入(7)得 0C2 把 C1 C2 的值代入(6)及(7)式得 v04t 20 (8) s02t 2 20t (9) 在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 50 0.4 20 t   (s) 再把 t50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s02502 2050500(m) 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 s04 并且 s|t0=0 s|t0=20 把等式 s04 两端积分一次 得 s04tC1 即 v04tC1(C1 是任意常数) 再积分一次 得 s02t 2 C1t C2 (C1 C2 都 C1 是任意常数) 由 v|t020 得 20C1 于是 v04t 20 由 s|t00 得 0C2 于是 s02t 2 20t 令 v0 得 t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 s02502 2050500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微 分方程的阶 x 3 yx 2 y4xy3x 2  y (4) 4y10y12y5ysin2x

银川科技职业学院《高整数学》救集 第土二童常微分方程 ym+1=0, 般n阶微分方程： Fx,y,…,0)）=0. ym=x,yy,…,r). 微分方程的解：满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成 为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说，设函数y=x)在区间I上有n阶连 续导数，如果在区间1上 Fx,x),(x)...(x0, 那么函数=x)就叫做微分方程Fx,yy,,ym)=0在区间I上的解 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.如 =0时，=0，y=y0. 一般写成 x=6=%,yx=6=6 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.即不含任 意常数的解 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题。 如求微分方程y=x,)满足初始条件=。=%的解的问题，记为 [y=f(x.y) =。=6 积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。 例3验证：函数 x=Cicos kt+C2 sin kt 是微分方程 dx+k"x=O di 的解 解求所给函数的导数： dx=-kC sin kt+kC2coskt, d dx--k2Ccoskt-k2Czsin ki=-k2(Cucoskt+Czsin kt). d 将及x的表达式代入所给方程，得 dr 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 4 页 y (n) 10 一般 n 阶微分方程 F(x y y     y (n) )0 y (n) f(x y y     y (n1) )  微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成 为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连 续导数 如果在区间 I 上 F[x (x) (x)     (n) (x)]0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y    y (n) )0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0  y y0  一般写成 0 0 y y xx   0 0 y y x x      特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任 意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件 0 0 y y xx  的解的问题 记为        0 0 ( , ) y y y f x y x x  积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程 0 2 2 2 k x dt d x 的解 解 求所给函数的导数 kC kt kC kt dt dx sin cos  1  2  cos sin ( cos sin ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 k C k t k C k t k C k t C k t dt d x      将 2 2 dt d x 及 x 的表达式代入所给方程 得

银川科技职业学院《高签数学》教 第土二童常微分方程 -k(Cicos kt+C2sin kt)+k(Cicos kt+C2sin kt)=0. 这表明函数XC1cos+C2sinM满足方程4+k2x=0,因此所给函数是所 d? 给方程的解 例4已知函数=C1cos+CaSinkrk-0)是微分方程2+k2r=0的通解，求 满足初始条件 x0=A,x|-0=0 的特解。 解由条件x0=A及x=C1cos+C2sinL,得 C1=A. 再由条件x'|o=0,及x'()=-kC1sin+kC2cosL,得 C2=0. 把C1、C2的值代入x=C1 cos kt+-C2sinM中，得 x=Acos kt. 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 5 页 k 2 (C1cos ktC2sin kt) k 2 (C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程 0 2 2 2 k x dt d x  因此所给函数是所 给方程的解 例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 0 2 2 2 k x dt d x 的通解 求 满足初始条件 x| t0 A x| t0 0 的特解 解 由条件 x| t0 A 及 xC1 cos ktC2 sin kt 得 C1A 再由条件 x| t0 0 及 x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得 C20 把 C1、C2 的值代入 xC1cos ktC2sin kt 中 得 xAcos kt