银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十章 曲线积分和曲面积分

银川科技职业学院《高等数学》救素 第十章曲线积分和曲面积分 章节名称： 第十章 曲线积分和曲面积分 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。 6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 重点： 1、两类曲线积分的计算方法： 2、格林公式及其应用： 3、两类曲面积分的计算方法： 4、高斯公式、斯托克斯公式： 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系： 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算： 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分： 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分： 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 1 页 章节名称： 第十章 曲线积分和曲面积分 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。 6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 重点： 1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式； 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银川科技职业学院《高等数学》救未 第十章曲线积分和曲面积分 S10.1对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量： 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上，己知曲线形构 件在点(x,y)处的线密度为(x,y).求曲线形构件的质量， 把曲线分成n小段，△1，△s2,,△sn(△s,也表示弧长)； 任取(5，)E△s,得第i小段质量的近似值(5，)△s 整个物质曲线的质量近似为M≈25)Ay; i=l 令=max{△s1,△2，·，△sn}→0，则整个物质曲线的质量为 M=im2G,n)△. 元→0=] 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数x,y)在L上有界.在L上 任意插入一点列M,M,··,Mm-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为△s, 又（点，）为第i个小段上任意取定的一点，作乘积5，)△s,(=1,2,·,n),并作 和2G4,如果当各小弧段的长度的最大值0，这和的极限总存在，则 i= 称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 fxb,即∫fxk=m2fG)A 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段. 设函数x,y)定义在可求长度的曲线L上，并且有界 将L任意分成n个弧段：△S1,△s2,,△sm并用△s,表示第i段的弧长； 在每一弧段△s上任取一点(，)，作和∑f5,)△s; i=l 令=max{△s1,△s,,△sm,如果当2→0时，这和的极限总存在，则称此极 限为函数x,)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分，记作∫fxs,即 (yds=m)s 0=1 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段. 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 2 页 §10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构 件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2    sn(si 也表示弧长) 任取(i  i)si  得第 i 小段质量的近似值(i  i)si 整个物质曲线的质量近似为 i i i n i M  s   ( , ) 1     令 max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为 i i i n i M  s   lim  ( , ) 1 0      这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上 任意插入一点列 M1 M2    Mn1 把 L 分在 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为si  又(i  i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i  i)si  (i1 2   n ) 并作 和 i i i n i f s   ( , ) 1    如果当各小弧段的长度的最大值 0 这和的极限总存在 则 称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 i i i n i L f x y ds  f s    ( , ) lim  ( , ) 1 0     其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s1 s2    sn 并用si 表示第 i 段的弧长 在每一弧段si 上任取一点(i  i) 作和 i i i n i f s   ( , ) 1    令 max{s1 s2    sn} 如果当 0 时 这和的极限总存在 则称此极 限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 i i i n i L f x y ds  f s    ( , ) lim  ( , ) 1 0     其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 曲线积分的存在性：当x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分 Jfx,站是存在的.。以后我们总假定x,)在L上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义，曲线形构件的质量就是曲线积分∫，(x,yd 的值，其中x,)为线密度。 对弧长的曲线积分的推广：「 /，y=k=m2fGn,57)Ay. 1→0=1 如果L(或)是分段光滑的，则规定函数在（或）上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L,及L2,则规 定 f.ds=f(x.ds+f(.yds 闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数x,y)在闭曲线L上对弧长的曲 线积分记作 f(x.yds. 对弧长的曲线积分的性质： 性质1设c1、c2为常数，则 JIqf(x.y)+cg(x.y)lds=aJf(x.yds+c2g(x.yds; 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 s.+ds; 性质3设在L上x,)gx,以，则 Jxds≤gxs 特别地，有 Ifcs华fx川 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义，如果曲线形构件L的线密度为x,),则曲 线形构件L的质量为 S.ys. 另一方面，若曲线L的参数方程为 x=0(),=Ψ()(a≤)， 则质量元素为 f(x.y)ds=fo(),v(lo(t)+v()dt, 曲线的质量为 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 3 页 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积分 f x y ds L ( , )  是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分 x y ds L ( , )   的值 其中(x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 i i i i n i f x y z ds  f s    ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      如果 L(或)是分段光滑的 则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2 则规 定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2        闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲 线积分记作 f x y ds L ( , )   对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c2 为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )  1 2 1 2     性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2       性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y) 则    L L f (x, y)ds g(x, y)ds 特别地 有    L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x y) 则曲 线形构件 L 的质量为 L f (x, y)ds 另一方面 若曲线 L 的参数方程为 x(t) y (t) (t) 则质量元素为 f (x, y)ds f[ (t), (t)] (t) (t)dt 2  2        曲线的质量为

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 n.vl0+Od 即 fxy还=几o0,vp20)+y20t. 定理设x,)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x=00,=0)(a心)， 其中)、()在[a,上具有一阶连续导数，且p()+2()0,则曲线积分 fcd存在，且 Sf(x.yxds=[A.vho+d(ap. 证明（略） 应注意的问题：定积分的下限α一定要小于上限B. 讨论： (I)若曲线L的方程为=xa≤≤b),则∫fx,s=? 提示：L的参数方程为x=x,=x(a≤r≤b), fc=心x,wx+wPxd (2)若曲线L的方程为x=0yc≤≤，则∫fx,ys=? 提示：L的参数方程为x=o0y),=c≤d, Jf(x.yds=[fdy).ylo2)+idy (3)若曲T的方程为=0，=0，=00（≤≤， 则fcy=9 提示：「fy达=几o0.v0,o0o20+w0+o20d. 例1计算∫，其中L是抛物线=x2上点O0,0)与点BL,1)之间的一段 解曲线的方程为=x2(0≤≤1)，因此 2k=可Fi+乎=xi+4=65- 例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设 线密度为e1). 解取坐标系如图所示，则1=∫Pds 曲线L的参数方程为 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 4 页       f[(t),(t)]  (t)  (t)dt 2 2  即         f x y ds f  t  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2  定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 x(t) y(t) (t) 其中 (t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且  2 (t) 2 (t)0 则曲线积分 f x y ds L ( , )  存在 且 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2  2            (<) 证明（略） 应注意的问题 定积分的下限  一定要小于上限  讨论 (1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 xx y(x)(axb) f x y ds f x x x dx b L a   ( , )  [ , ( )] 1  ( )   2  (2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 x(y) yy(cyd) f x y ds f y y y dy d L c   ( , )  [ ( ), ]  ( )1 2    (3)若曲  的方程为 x(t) y(t) z(t)(t) 则 f (x, y,z)ds  ? 提示 f (x, y,z)ds f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2  2  2                 例 1 计算 yds L   其中 L 是抛物线 yx 2上点 O(0 0)与点 B(1 1)之间的一段 弧 解 曲线的方程为 yx 2 (0x1) 因此      1 0 2 2 2 yds x 1 (x ) dx L    1 0 2 x 1 4x dx (5 5 1) 12 1    例 2 计算半径为 R、中心角为 2 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设 线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则   L I y ds 2  曲线 L 的参数方程为

银川科技职业学院《高等数学》教集 第十章曲线积分和曲面积分 x=Rcos0,y=Rsin0(-a<e<a). 于是 I=yds=Rsin20-Rsin O+(RcosOdo -Rsin2@l0-R(a-sinacosa). 例3计算曲线积分(x2+y2+z2),其中「为螺旋线x=acos、=asin、2=k 上相应于1从0到达2的一段弧. 解在曲线T上有x2+y2+z2=(acos2+(asin2+k)}2=a+k212,并且 ds=(-asin 1)2+(acost)2+k2dt=Ja2+k2dt, 于是 2+2+2s=(a2+k22+R =2xa+k2(3a2+4r2k23). 3 小结：用曲线积分解决问题的步骤： (1)建立曲线积分； (2)写出曲线的参数方程（或直角坐标方程），确定参数的变化范围； (3)将曲线积分化为定积分； (4)计算定积分. 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 5 页 xRcos yRsin (<) 于是   L I y ds 2       R  R  R  d 2 2 2 2 sin ( sin ) ( cos )     R d 3 2 sin R 3 (sin cos) 例 3 计算曲线积分 (x y z )ds 2 2 2     其中  为螺旋线 xacost、yasint、zkt 上相应于 t 从 0 到达 2的一段弧 解 在曲线上有 x 2 y 2 z 2 (a cos t) 2 (a sin t) 2 (k t) 2 a 2 k 2 t 2  并且 ds a t a t k dt a k dt 2 2 2 2 2  ( sin ) ( cos )     于是 (x y z )ds 2 2 2        2 0 2 2 2 2 2 (a k t ) a k dt (3 4 ) 3 2 2 2 2 2 2   a k a   k  小结 用曲线积分解决问题的步骤 (1)建立曲线积分 (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程)  确定参数的变化范围 (3)将曲线积分化为定积分 (4)计算定积分