银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十一章 无穷级数

银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无游级邀 章节名称： 第十一章 无穷级数 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件。 2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法。 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项 积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.掌握e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些 简单函数间接展开成幂级数。 11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [H,]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，上的函数展开为正弦级数与余弦级数， 会写出傅里叶级数的和的表达式。 重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别： 3、交错级数的莱布尼茨判别法： 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域： 5、e,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+a)“的麦克劳林展开式：6、傅里叶级数。 难点： 1、比较判别法的极限形式：莱布尼茨判别法： 2、任意项级数的绝对收敛与条件收敛：函数项级数的收敛域及和函数： 3、泰勒级数；傅里叶级数的狄利克雷定理。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 1 页 章节名称： 第十一章 无穷级数 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件。 2．掌握几何级数与 P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求 法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项 积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握 ,sin ,cos x e x x ，ln(1 )  x 和 (1 ) a   的麦克劳林展开式，会用它们将一些 简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数， 会写出傅里叶级数的和的表达式。 重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、 ,sin ,cos x e x x ，ln(1 )  x 和 (1 ) a   的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 难点： 1、比较判别法的极限形式；莱布尼茨判别法； 2、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域及和函数； 3、泰勒级数；傅里叶级数的狄利克雷定理。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银科技职业学院《高签数学》救妹 第土一章无穷级数 S11.1常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数：给定一个数列 1,2,3,··3m··y 则由这数列构成的表达式 1+2+⅓+··+m+·· 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为2， 即 乞，=++5+…++…，其中第n项un叫做级数的一般项。 级数的部分和：作级数2，的前n项和s,=立4=4+山+++4。 =l i=l 称为级数∑4n的部分和. n=l 级数敛散性定义：如果级数24，的部分和数列，有极限3，即m5,=5, n=l 1→0 00 则称无穷级数∑收敛，这时极限s叫做这级数的和， n=l 并写成 5=2,=4++++,+…； n=1 如果s}没有极限，则称无穷级数∑4n发散. n=1 余项：当级数，收敛时，其部分和5n是级数2，的和s的近似值，它们 n=l =1 之间的差值 7=5-S=41+w2+叫做级数足山，的余项 刀三 例1讨论等比级数（几何级数） 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 2 页 §11 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数 给定一个数列 u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式 u1  u2  u3     un     叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为   n1 n u  即 1 2 3 1            n n un u u u u  其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数   n1 n u 的前 n 项和 n n i sn ui u u u   u  1 2 3 1 称为级数   n1 n u 的部分和 级数敛散性定义 如果级数   n1 n u 的部分和数列 { }n s 有极限 s 即 s s n n   lim  则称无穷级数   n1 n u 收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 并写成 1 2 3 1             n n s un u u u u  如果 { }n s 没有极限 则称无穷级数   n1 n u 发散 余项 当级数   n1 n u 收敛时 其部分和 s n是级数   n1 n u 的和 s 的近似值 它们 之间的差值 rnssnun1un2   叫做级数   n1 n u 的余项 例 1 讨论等比级数(几何级数)

银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 .aq=ataq+aq+..+ap+. n=0 的敛散性，其中a≠0，q叫做级数的公比. 解如果q≠1，则部分和 Sn=atagtag?+...+agm-1=a-ag"a ag" 1-q1-q1-q 当水1时，因为一=已，所以此时级数三a叫收敛其和为号司 刀→00 n=0 当g1时，因为m,=0,所以此时级数2ag”发散。 n=0 如果ql,则当g=1时，S=na→o,因此级数∑ag发散； 开三0 当g=-1时，级数2ag成为 n=0 a-a+a-a+··, 时lq仁1时，因为sm随着n为奇数或偶数而等于a或零， 所以sn的极限不存在，从而这时级数∑ag”也发散. 7=0 综上所述，如果冰k1,则级数g收敛其和为台g:如果P1,则级数 1=0 2ag”发散. =0 仅当水1时，几何级数aga0收敛，其和为台g n=0 例2证明级数1+2+3+.+n+.. 是发散的. 证此级数的部分和为 n-l+2+3+…+n=n+ 2 显然，nmSn=o,因此所给级数是发散的. n-00 例3判别无穷级数名4+ 1 的收敛性」 nn+1) 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 3 页 2 0            n n n aq a aq aq aq 的敛散性 其中 a0 q 叫做级数的公比 解 如果 q1 则部分和 q aq q a q a aq s a aq aq aq n n n n               1 1 1 2 1  当|q|1 时 因为 q a sn n    1 lim  所以此时级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  当|q|>1 时 因为   n n lim s  所以此时级数 n n aq  0 发散 如果|q|1 则当 q1 时 sn na 因此级数 n n aq  0 发散 当 q1 时 级数 n n aq  0 成为 aaaa    时|q|1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 所以 sn 的极限不存在 从而这时级数 n n aq  0 也发散 综上所述 如果|q|1 则级数 n n aq  0 收敛 其和为 q a 1  如果|q|1 则级数 n n aq  0 发散 仅当|q|1 时 几何级数 n n aq  0 a0)收敛 其和为 q a 1  例 2 证明级数 123  n   是发散的 证 此级数的部分和为 2 ( 1) 1 2 3         n n sn n  显然   n n lim s  因此所给级数是发散的 例 3 判别无穷级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 的收敛性

银川科技职业学院《高签数学》教未 第十一童无穷级邀 解由于 ☆ 因此 1 +1+1 n2+23+34+…+ 1 n+) nn+l' 从而 m-1, 1-→00 所以这级数收敛，它的和是1. 二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数，收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级 1=1 数2k,也收敛，且其和为ks.(如果级数24，收敛于和s,则级数∑k,也收敛， n=1 n=】 n= 且其和为ks.) 这是因为，设24，与2k知，的部分和分别为5与0，则 00 n=1 lim on lim (ku+ku+...ku)=k lim (u+u+...u)=k lim s=ks. 110 这表明级数∑k4收敛，且和为ks. n=l 性质2如果级数2，、分别收敛于和s、。则级数，士，)也收敛， n=1 n=l n=l 且其和为s±o 这是因为，如果立4，、】 ，、立u,,)的部分和分别为、、则 n=1 =1 m= imtn=lim[(4±)+(w±2)+…+(u,±vn】 =lm[(4+山2+…+n)±(+2+…+vn】 =lm(sn±on)=s±o. 7→00 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 4 页 解 由于 1 1 1 ( 1) 1      n n n n un  因此 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1           n n sn 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1             n n n 从而 ) 1 1 1 lim lim (1       n s n n n  所以这级数收敛 它的和是 1 二、收敛级数的基本性质 性质 1 如果级数   n1 n u 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级 数   n1 n ku 也收敛 且其和为ks (如果级数   n1 n u 收敛于和s 则级数   n1 n ku 也收敛 且其和为 ks ) 这是因为 设   n1 n u 与   n1 n ku 的部分和分别为 sn 与n 则 lim lim ( ) 1 2 n n n n  ku ku  ku    k u u u k s ks n n n n        lim ( 1 2 ) lim  这表明级数   n1 n ku 收敛 且和为 ks 性质 2 如果级数   n1 n u 、  n1 n v 分别收敛于和 s、 则级数 ( ) 1 n n n  u v   也收敛 且其和为 s 这是因为 如果   n1 n u 、   n1 n v 、 ( ) 1 n n n  u v   的部分和分别为 sn、n、n 则 lim lim [( ) ( ) ( )] 1 1 2 2 n n n n n  u v  u v  u v    lim [( ) ( )] 1 2 n 1 2 n n  u u u  v v v       s s n n n lim ( )  性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

银川科技职业学院《高签数学》教未 第土一童无穷级邀 比如，级数站4中 11 1 +…是收敛的， n+1) 级数10000+，1+1+1 2*2334*…+ +…也是收敛的， n(n+1) 级数、 1 3445+…+ 1 +…也是收敛的。 n(n+) 性质4如果级数立山，收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 n=l 收敛，且其和不变 应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来 的级数也收敛.例如，级数 (1-1)+(1-1)+.收敛于零，但级数1-1+1-1+·却是发散的. 推论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散 级数收敛的必要条件： 性质5如果∑4n收敛，则它的一般项，趋于零，即m4,=0. 1=l >0 (性质5的等价命题：若limn≠0，则级数∑n发散) →0 n=I 证 设级数∑4n的部分和为s,且imSn=s,则 n=1 1-→00 lim un=lim (Sn-Sn-1)=lim Sn-lim Sn-1=s-s=0. n-0 1-00 7→00 应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例4证明调和级数 +1L++1+…是发散的。 =1+与t3++ n 证假若级数l收敛且其和为5，n是它的部分和， nin 显然有imSn=s及1m52m=S.于是m(2m-Sn)=0. 1-→00 -→00 1-0 但另一方面， s2m-5n=月 1+1 2n2, 故m心-S,)≠0，矛盾。这矛盾说明级数l必定发散 nin 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 5 页 比如 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1            n n 是收敛的 级数 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 10000             n n 也是收敛的 级数 ( 1) 1 4 5 1 3 4 1          n n 也是收敛的 性质 4 如果级数   n1 n u 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍 收敛 且其和不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来 的级数也收敛 例如 级数 (11)+(11) +  收敛于零 但级数 1111  却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 性质 5 如果   n1 n u 收敛 则它的一般项 un 趋于零 即 lim 0 0   n n u  （性质 5 的等价命题：若 0 lim 0 n n u   ，则级数   n1 n u 发散 ） 证 设级数   n1 n u 的部分和为 sn 且 s s n n   lim  则 lim lim ( 1 ) lim lim 1 0 0              u s s s s s s n n n n n n n n n  应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 4 证明调和级数 1 3 1 2 1 1 1 1            n n n 是发散的 证 假若级数   1 1 n n 收敛且其和为 s sn 是它的部分和 显然有 s s n n   lim 及 s s n n   2 lim  于是 lim ( 2  )0  n n n s s  但另一方面 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2               n n n n n n s s n n  故 lim ( 2  )0  n n n s s  矛盾 这矛盾说明级数   1 1 n n 必定发散