在具体计算中,方程F(x1x2…xn,y=0所确定的隐函数 导,利用 +)的偏导数通常可如下直接计算:在方程两边对x求偏 y=f(x12x2,… 函数求导的链式规则即得 aF aF ay 0 于是 F OFF
在具体计算中，方程 0),,,,( 21 " n yxxxF = 所确定的隐函数 ),,,( 21 n = " xxxfy 的偏导数通常可如下直接计算：在方程两边对 i x 求偏 导，利用复合函数求导的链式规则即得 = 0 ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ i i x y y F x F ， 于是 y x i i F F y F x F x y i −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ， = ",,2,1 ni
例12.4.1在上半椭球面x+y2+=2=1(2>0)上,求和。 解记 F(x,y, z) =0 则F=2>0保证了隐函数=f(x,y的存在性 在方程两边分别对x和y求偏导,得到 2x 2z az 2y2 0, ax 632:az 0, 从而有 C x az
例 12.4.1 在上半椭球面 )0(1 2 2 2 2 2 2 z >=++ c z b y a x 上，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ 。 解 记 ),,( 01 2 2 2 2 2 2 =−++= c z b y a x zyxF ， 则 0 2 2 >= c z Fz 保证了隐函数 = yxfz ),( 的存在性。 在方程两边分别对 x 和 y 求偏导，得到 0 22 22 = ∂ ∂ + x z c z a x ， 0 22 22 = ∂ ∂ + y z c z b y ， 从而有 z x a c x z 2 2 −= ∂ ∂ ， z y b c y z 2 2 −= ∂ ∂
例12.4.2设方程x2+y2+x2=4确定z为x,y的函数,求和 解在方程x2+y2+x2=4两边对x求偏导, 0z,0z 2x+2z 于是 x Ox 2 再在前一等式两边对x求偏导 *2/d 02z.02z 2 +2z Ox Ox ax 得到 02z (2-z)2+ 2 (2-z)
例 12.4.2 设方程 4zzyx 222 =++ 确定 z 为 x, y 的函数，求 2 2 x z ∂ ∂ 和 yx z ∂∂ ∂ 2 。 解 在方程 4zzyx 222 =++ 两边对x求偏导， x z x z zx ∂ ∂ = ∂ ∂ + 422 ， 于是 z x x z − = ∂ ∂ 2 。 再在前一等式两边对x求偏导， 2 2 2 2 2 4222 x z x z z x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ + ， 得到 3 22 2 2 2 )2( )2( 2 1 z xz z x z x z − +− = − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∂∂ + = ∂ ∂
在方程x2+y2+z2=4两边对y求偏导, 0z,0z 2y+2 于是 2 再在前一等式两边对x求偏导, 2 +2z ax ay Oxy axa 得到 azaz xy axdy 2-2(2-2)
在方程 4zzyx 222 =++ 两边对 y 求偏导， y z y z zy ∂ ∂ = ∂ ∂ + 422 ， 于是 z y y z − = ∂ ∂ 2 。 再在前一等式两边对x求偏导， yx z yx z z y z x z ∂∂ ∂ = ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 422 ， 得到 3 2 2 z)2( xy z y z x z yx z − = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂
例124.3设方程F(x,y)=0确定z为x,y的函数,其中F具有二 阶连续偏导数,求9 解当=xF1+yF2≠0,可以应用隐函数存在定理,在方程 F(x,yz)=0两边对x求偏导, +xF+y-F2=0 于是 ax xF+ yF2 再在前一等式两边对x求偏导,得到 az a az 2+x2F+2+x×F1+2|z+x F12+y2F2 F=0
例 12.4.3 设方程 yzxzF = 0),( 确定 z 为 x, y的函数，其中 F 具有二 阶连续偏导数，求 2 2 x z ∂ ∂ 。 解 当 0 21 ≠+= ∂ ∂ yFxF z F ，可以应用隐函数存在定理，在方程 yzxzF = 0),( 两边对 x求偏导， 1 2 = 0 ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + F x z yF x z xz ， 于是 21 1 yFxF zF x z + −= ∂ ∂ 。 再在前一等式两边对 x求偏导，得到 2 2 2 2 2 1 11 122 2 2 2 22 0 z z z zz z z x F zx F zx y F y F y F x x x xx x x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ + ++ + + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠