《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-6 数量积、向量积

，b=bi+bj+b,k设a=ai+a,j+ak,a.b=(ai+a,j+a,k).(bi+b,j+bk).iljlk, ..i.j=j.k=k.i=o,:ik=1,..i.i=j.j=k.k=la.b=abx+a,b,+a,b数量积的坐标表达式经济数学微积分

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

a.ba.b=allblcoso →cose二[allb'a.b+a,b,+a,b,cosO=a+a,+a?b+b,+b两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为alb=a.b.+a.b.+a.b.=0经济数学微积分

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1 已知=(1,1,-4)，b=(1,-2,2)，求（1）a.b;(2）a与b的夹角：（3）a在b上的投影解 (1) a.b =1.1+1.(-2)+(-4)·2 =-9.a,bx+a,b,+a,b(2) cosO =2b2+b.2+ba+0X13元V2'4a.b-3(3) a.b=biPrja..Pr ia1b1C经济数学微积分

例 1 已知a = − (1,1, 4)，b = − (1, 2,2)，求（1） a b    ； （2）a  与 b  的夹角；（3）a  在 b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例 2证明向量c与向量(a·)b-(b·c)a垂直证[(a.c)b-(b.c)a].·c=[(a.c)b.c-(b.c)a.]=(c.b)[a.c-a]=0:. [(a.)b -(b.c)a]lc经济数学微积分

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥