对余项r(x)的积分形式应用积分第一中值定理,考虑到当 t∈[x0,x(或{x,xn)时,(x-0)”保持定号,于是就有 厂n(x) f(n(5) (x-t" dt (5在x0与x之间) ((x+(x-x0) (x-x0),0≤0≤1, (n+1)! 这就是我们已经知道的 Lagrange余项;
对余项 r (x) n 的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当 [ , ] 0 t x x （或 0 [ , ] x x ）时， n (x − t) 保持定号，于是就有 r (x) n = ( 1) ( ) ! n f n + − x x n x t t 0 ( ) d （ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x x x x x n + + − + = − + ， 0 1， 这就是我们已经知道的 Lagrange 余项；
对余项r(x)的积分形式应用积分第一中值定理,考虑到当 t∈[x0,x(或{x,xn)时,(x-0)”保持定号,于是就有 厂n(x) f(n(5) (x-t" dt (5在x0与x之间) ((x+b(x-x0) (x-x0) n+1 0≤b≤1, (n+1) 这就是我们已经知道的 Lagrange余项; 如果将∫-()(x-D看作一个函数,应用积分第一中值定理,则 有 (n+1) 厂n(x) x-5) dt (在x与x之间) Xo (n+)(x+(x-x0) (1-)"(x-x0),0≤0≤1 rn(x)的这一形式称为 Cauchy余项
如果将 n n f (t)(x t) ( 1) − + 看作一个函数，应用积分第一中值定理，则 有 r (x) n 0 ( 1) ( )( ) d ! n n x x f x t n + − = （ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) (1 ) ( ) ! n n n f x x x x x n + + − + = − − ，0 1， r (x) n 的这一形式称为 Cauchy 余项。 对余项 r (x) n 的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当 [ , ] 0 t x x （或 0 [ , ] x x ）时， n (x − t) 保持定号，于是就有 r (x) n = ( 1) ( ) ! n f n + − x x n x t t 0 ( ) d （ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x x x x x n + + − + = − + ， 0 1， 这就是我们已经知道的 Lagrange 余项；
初等函数的 Taylor展开 1+x+ x∈(-∞,+∞) 2!3 证在§54我们得到e在x=0的 Taylor公式 e=1+x+++…+-,+rn(x),x∈(-∞,+∞), ! 其中r1(x)表示成 Lagrange余项为 (n+1) n(x)= Bx) n+1 0<<1。 n n+ 由于 x→ (n+1)! 对一切x∈(-∞+∞)成立,所以e的 Taylor展开式成立
初等函数的 Taylor 展开 (1) f (x) = ex = =0 ! n n n x = + + + ++ + 2! 3! ! 1 2 3 n x x x x n ， x (−,+)。 证 在§5.4 我们得到 e x 在 x = 0 的 Taylor 公式 2! 3! ! e 1 2 3 n x x x x n x = + + + ++ + r x n ( )， x (−,+)， 其中r (x) n 表示成 Lagrange 余项为 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n n f x r x x n + + = + e 1 ( 1)! x n x n + = + ， 0 1。 由于 ｜r (x) n ｜ | | 0 ( 1)! e 1 | | → + n+ x x n (n →) 对一切 x (−,+)成立，所以 e x 的 Taylor 展开式成立