为了寻求函数的 Taylor级数收敛于它本身的条件,回忆在§53 中所得到的 Taylor公式:设f(x)在O(x0,p)有n+1阶导数,则 f(x)=∑ (x-x0)+rn(x), k 其中,(x)是n阶 Taylor公式的余项现在假定讨论的函数f(x)在O(x0, r)上任意阶可导,也就是说,上面的 Taylor公式对一切正整数n成立, 于是我们可以断言 (x-x0)” 在O(x0,p)(0<p≤)成立的充分必要条件是: lim r (x)=0 对一切x∈Oxn,p)成立
为了寻求函数的 Taylor 级数收敛于它本身的条件，回忆在§5.3 中所得到的 Taylor 公式：设 f (x)在 O( 0 x , r)有 n + 1 阶导数，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) +r (x) n ， 其中r (x) n 是 n 阶 Taylor 公式的余项。现在假定讨论的函数 f (x) 在 O( 0 x , r)上任意阶可导，也就是说，上面的 Taylor 公式对一切正整数 n 成立， 于是我们可以断言： f (x) = = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 在 0 O x( , ) （0 r ）成立的充分必要条件是： n→ lim r (x) n = 0 对一切 0 x O x ( , ) 成立
这时,我们才称f(x)在Oxnp)可以展开成幂级数(或 Taylor级 数),或者称∑ (x mm1(x-x)”是f(x)在O(x,p)上的幂级数展开(或 Taylor展开) 在§53中,曾导出余项 r(x)= xo +e(x-Xo)(x (n+1) x),0<0< rn(x)的这一形式称为 Lagrange余项。为了讨论各种函数的 Taylor展 开,我们还需要r(x)的另一形式,即积分形式
这时，我们才称 f (x)在 0 O x( , ) 可以展开成幂级数（或 Taylor 级 数），或者称 = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 是 f (x)在 0 O x( , ) 上 的幂级数展开（ 或 Taylor 展开）。 在§5.3 中，曾导出余项 r (x) n = ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x x x x x n + + − + − + ，0 1， r (x) n 的这一形式称为 Lagrange 余项。为了讨论各种函数的 Taylor 展 开，我们还需要 r (x) n 的另一形式，即积分形式：
定理10.4.1设f(x)在O(x0,r)上任意阶可导,则 f(x)=∑ w00(x-xo)tr(x), XEO(xo, r), k 其中 ∫fm=1(Xx-o)ydr
定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) + r (x) n ， xO( 0 x , r)， 其中 r (x) n = ! 1 n − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)
定理10.4.1设f(x)在O(x0,r)上任意阶可导,则 f(x)=∑ (x-x)+r(x), xEO(xo, r) k 其中 ∫fm=1(Xx-o)ydr 证由表达式(x)=f(x)-∑x(x-x)出发,逐次对等式 两端进行求导运算,可依次得到 (k) 2(x)=f(x) X-x 石(k-1) X-x k=2 (k-2)! (x)=f((x)-f((x0)
证 由表达式 r (x) n = f (x) = − − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) 出发，逐次对等式 两端进行求导运算，可依次得到 r (x) n = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 1 1 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ， r (x) n = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 2)! ( ) ， …… ( ) ( ) r x n n = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x n n − ， ( ) ( 1) r x n n + = ( ) ( 1) f x n+ 。 定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) + r (x) n ， xO( 0 x , r)， 其中 r (x) n = ! 1 n − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)
令x=x,便有 rn(x0)=r2(x0)=r(x)=…=r0(x)=0。 逐次应用分部积分法,可得 (x)=r,(x)-2(x)=m()dt ∫()d(t-x)=「r(x-dr 2/()d(-x)2÷1 2(x-1)2dt ∫r"(Ox-myd=1∫r(x-ydr
令 x = 0 x ，便有 ( ) 0 r x n = ( ) 0 r x n = ( ) 0 r x n == ( ) 0 ( ) r x n n = 0。 逐次应用分部积分法，可得 r (x) n =r (x) n - ( ) 0 r x n = x x n r t t 0 ( )d = − x x n r t t x 0 ( )d( ) = − x x n r t x t t 0 ( )( )d = - 2! 1 − x x n r t t x 0 2 ( )d( ) = 2! 1 0 2 ( )( ) d x n x r t x t t − …… = ! 1 n − + x x n n n r t x t t 0 ( )( ) d ( 1) = ! 1 n − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)