[解析】法一（分割法）：如图，过点C作CM平行于AB，交AD于点M作CN平行于BE，交EF于点N，连接MN.由题意可知ABCM，BENC都是矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2V2,所以SaAE2X=2,因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD，又因为直三棱柱ABE-MCN的体积为Vi=S-ABE?AM=×2×2×2=4，四棱锥C-MNFD的体积为V2=S四边形MNFD·BE=×(1+2)×2×2=2,所以所求几何体的体积为V+ V2 = 6.法二（分割法）：如图，连接AC，EC，则几何体分割为四棱锥C-ADFE和(3+414三棱锥C-ABE，因为Vc-ADFEx2-VC-ABEX233214.44X2=，所以几何体的体积为Vc-ADFE+Vc-ABE==633法三（补形法）：如图，延长BC至点M，使得CM=2，延长EF至点N使得FN=1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE-DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN的体积减去四棱锥D-CMNF的体积4=8因为VABE-DM1+X2=2VD-CMNF:X所以几何体的体积为VABE-DMN-VDCMNE=8-2=6.[答案]6考向3等体积法求体积[例3]已知正方体ABCD-AiBiCD的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A-NMDi的体积为[解析】如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2，M，N分别为BBI，AB的中点，:.SaANMX1X1:第11页共138页
第 11 页 共 138 页 [解析] 法一(分割法)：如图，过点 C 作 CM 平行于 AB，交 AD 于点 M， 作 CN 平行于 BE，交 EF 于点 N，连接 MN.由题意可知 ABCM，BENC 都是 矩形，AM＝DM＝2，CN＝2，FN＝1，AB＝CM＝2 2，所以 S△AEB＝ 1 2 ×2×2 ＝2， 因为截面 CMN 把这个几何体分割为直三棱柱 ABEMCN 和四棱锥 CMNFD，又因为 直三棱柱 ABEMCN 的体积为 V1＝S△ABE·AM＝ 1 2 ×2×2×2＝4，四棱锥 CMNFD 的体积为 V2＝ 1 3 S 四边形 MNFD·BE＝ 1 3 × 1 2 ×(1＋2)×2×2＝2，所以所求几何体的体积为 V1 ＋V2＝6. 法二(分割法)：如图，连接 AC，EC，则几何体分割为四棱锥 CADFE 和 三棱锥 CABE，因为 VCADFE＝ 1 3 × 3＋4 2 ×2 ×2＝ 14 3 ，VCABE＝ 1 3 × 1 2 ×2×2 ×2＝ 4 3 ，所以几何体的体积为 VCADFE＋VCABE＝ 14 3 ＋ 4 3 ＝6. 法三(补形法)：如图，延长 BC 至点 M，使得 CM＝2，延长 EF 至点 N， 使得 FN＝1，连接 DM，MN，DN，得到直三棱柱 ABEDMN，所以几何体 的体积等于直三棱柱 ABEDMN 的体积减去四棱锥 DCMNF 的体积． 因为 VABEDMN＝ 1 2 ×2×2 ×4＝8， VDCMNF＝ 1 3 × 1＋2 2 ×2 ×2＝2， 所以几何体的体积为 VABEDMN－VDCMNF＝8－2＝6. [答案] 6 考向 3 等体积法求体积 [例 3] 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，M，N 分别为 BB1，AB 的中点，则 三棱锥 ANMD1 的体积为 ． [解析] 如图，∵正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，M，N 分别为 BB1，AB 的中点， ∴S△ANM＝ 1 2 ×1×1＝ 1 2
..VA-NMDI=VDI-AMN=X2=232[答案] 3[解题技法]1.处理体积问题的思路转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为转容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高0将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便拆于计算2将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱拼锥复原成一个三棱柱、将一个三棱柱复原成一个四棱柱、还合为锥，这些都是拼补的方法2.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规割补法则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任等体积法个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换[跟踪训练]1.如图所示，已知三棱柱ABC-AiBC的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥BI-ABC的体积为（DKB.A.124D. V6VC.124解析：选A三棱锥Bi-ABCI的体积等于三棱锥A-BiBC的体积，三棱锥A-BiBG的K高为一，底面积为，与，故其体积为XX322-122.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2V3cm，侧面积为8V3cm2，则它的体积为cm3.第12页共138页
第 12 页 共 138 页 ∴VANMD1＝VD1AMN＝ 1 3 × 1 2 ×2＝ 1 3 . [答案] 1 3 [解题技法] 1．处理体积问题的思路 2．求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规 则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任 一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 [跟踪训练] 1.如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥ 底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1 的体积为( ) A． 3 12 B． 3 4 C． 6 12 D． 6 4 解析：选 A 三棱锥 B1ABC1 的体积等于三棱锥 AB1BC1 的体积，三棱锥 AB1BC1 的 高为 3 2 ，底面积为1 2 ，故其体积为1 3 × 1 2 × 3 2 ＝ 3 12 . 2.如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2 3 cm，侧面积为 8 3 cm2，则它的体积为 cm3
解析：记正四棱锥P-ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则POI平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8V3cm2，所以8V3=4××2V3×PH，解得 PH=2,在 RtAPHO中,HO=V3,所以PO=1,所以VPABCD=3S正方形ABCD·PO=4cm3.答案：43.在梯形ABCD中，ZABC=",AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD2*所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（2元B. 4nA.33C. SrD. 2元3解析：选C如图所示，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1，高h1=2HC=BC=2，其体积V=元Rh1=元×12×2=2元；圆锥的底面半径r=DH=1，高h2=HC=1，其体积11元5元=grX1X1=.故所求几何体的体积为V=V一V=2元一V2=Snrh-3-35考点图与球有关的切、接问题[定向精析突破]考向1几何体的外接球[例4】(2021·福州市道应性考试)设三棱柱ABC-AiBIC的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90°，AA1=3V2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（A.24nB.18元C. 26元D. 16[解析】依题意得三棱柱ABC-AiBiC的外接球即底面为正方形(边长为2)、高为3V2的长方体的外接球，故该球的直径为长方体的体对角线，设该球的半径为R，则有(2R2=22+22+（3V2)2=26，故该球的表面积为4元R=26元，故选C.[答案] C考向2几何体的内切球第13页共138页
第 13 页 共 138 页 解析：记正四棱锥 PABCD 的底面中心为点 O，棱 AB 的中点为 H，连接 PO，HO， PH，则 PO⊥平面 ABCD， 因为正四棱锥的侧面积为 8 3 cm2，所以 8 3＝4× 1 2 ×2 3×PH，解 得 PH＝2，在 Rt△PHO 中，HO＝ 3，所以 PO＝1，所以 VPABCD＝ 1 3 ·S 正方 形 ABCD·PO＝4 cm3 . 答案：4 3．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A． 2π 3 B． 4π 3 C． 5π 3 D．2π 解析：选 C 如图所示，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 H.则由旋转体的定义 可知，该梯形绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆 柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径 R＝AB＝1，高 h1＝2HC＝BC＝2，其体积 V1＝πR 2h1＝π×1 2×2＝2π；圆锥的底面半径 r＝DH＝1，高 h2＝HC＝1，其体积 V2＝ 1 3 πr 2h2＝ 1 3 π×1 2×1＝ π 3 .故所求几何体的体积为 V＝V1－V2＝2π－ π 3 ＝ 5π 3 . 与球有关的切、接问题 [定向精析突破] 考向 1 几何体的外接球 [例 4] (2021·福州市适应性考试)设三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝ 2，∠BAC＝90°，AA1＝3 2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A．24π B．18π C．26π D．16π [解析] 依题意得三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球即底面为正方形(边长为 2)、高为 3 2的 长方体的外接球，故该球的直径为长方体的体对角线，设该球的半径为 R，则有(2R) 2＝2 2＋ 2 2＋(3 2) 2＝26，故该球的表面积为 4πR 2＝26π，故选 C. [答案] C 考向 2 几何体的内切球
[例5]（2020·全国卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为[解析]】易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球R_BE1O如图所示，设内切球的半径为R，则sinZBPE：所以OPOP-PB3V2=3R,所以PE=4R=PB -BE =32 -12=2V2,所以R=，所以内V24切球的体积V：元R：一元，即该圆锥内半径最大的球的体积为3元23V2[答案]3元[规律探求]考向1是几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接间题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径看个性考向2是几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；定球心如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径找共性2选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包舍）作截面球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的2求半径根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，下结论并求解[跟踪训练]1.已知圆柱的高为2，底面半径为V3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(16B.A.4元3"32D.16元C.第14页共138页
第 14 页 共 138 页 [例 5] (2020·全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的 球的体积为 ． [解析] 易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥 PE 及其内切球 O 如图所示，设内切球的半径为 R，则 sin ∠BPE＝ R OP＝ BE PB＝ 1 3 ，所以 OP ＝3R，所以 PE＝4R＝ PB2－BE2＝ 3 2－1 2＝2 2，所以 R＝ 2 2 ，所以内 切球的体积 V＝ 4 3 πR 3＝ 2 3 π，即该圆锥内半径最大的球的体积为 2 3 π. [答案] 2 3 π [规律探求] 看个性 考向 1 是几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问 题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距 离等于球的半径. 考向 2 是几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割 为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积 等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径 找共性 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面 几何问题求解，其解题的思维流程是： [跟踪训练] 1．已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， 则这个球的表面积等于( ) A．4π B． 16 3 π C. 32 3 π D．16π
解析：选D如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r=OB=0A2+AB=12+(V3)=2.故这个球的表面积S=4元=16元.故选D.2.（2020·全国悬I)已知A，B，C为球0的球面上的三个点，O0为△4BC的外接圆：若Oi的面积为4元，AB=BC=AC=0O1，则球0的表面积为（A.64元B.48元C. 36元D.32解析：选A如图所示，设球O的半径为R，O的半径为r，因为00的面积为4元，所以4元=元，解得=2，又AB=BC=AC=001，AB所以n60=2r,解得 AB=2/3, 故 001=2/3, 所以 R=001+ =(2V3)2+22=16，所以球0的表面积S=4元R2=64元.故选A.3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD工底面ABCD，且PD=2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为解析：由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大.作出其侧视图，如图所示。易知球的半径r=(2-V2)a.D(C)2aA(B)答案：(2-V2)a微专题（十四）思想方法化归转化思想、函数与方程思想——立体几何中的最值问题[典例1]正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为V14，则该四面体内切球的体积为[解析】如图①所示，在正方体中作出一个正四面体ABCD，图?图②将正AABC沿AC边翻折，使平面ABC与平面ACD在同一平面内，如图②要使得BP+PE最小，则B，P，E三点共线，此时BE=V14第15页共138页
第 15 页 共 138 页 解析：选 D 如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心，于是， 球的半径 r＝OB＝ OA2＋AB2＝ 1 2＋( 3) 2＝2.故这个球的表面积 S＝ 4πr 2＝16π.故选 D. 2．(2020·全国卷Ⅰ)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙O1 为△ABC 的外接 圆．若⊙O1 的面积为 4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球 O 的表面积为( ) A．64π B．48π C．36π D．32π 解析：选 A 如图所示，设球 O 的半径为 R，⊙O1 的半径为 r，因 为⊙O1 的面积为 4π，所以 4π＝πr 2，解得 r＝2，又 AB＝BC＝AC＝OO1， 所以 AB sin 60° ＝2r，解得 AB＝2 3，故 OO1＝2 3，所以 R 2＝OO2 1＋r 2＝ (2 3) 2＋2 2＝16，所以球 O 的表面积 S＝4πR 2＝64π.故选 A. 3．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2a 的正方形，PD⊥底面 ABCD，且 PD ＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为 ． 解析：由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的 半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径 r＝(2－ 2)a. 答案：(2－ 2)a 微专题(十四) 思想方法 化归转化思想、函数与方程思想——立体几何中的最值问题 [典例 1] 正四面体 ABCD 中，E 是 AD 的中点，P 是棱 AC 上一动点，BP＋PE 的最 小值为 14，则该四面体内切球的体积为 ． [解析] 如图①所示，在正方体中作出一个正四面体 ABCD， 将正△ABC 沿 AC 边翻折，使平面 ABC 与平面 ACD 在同一平面内，如图②. 要使得 BP＋PE 最小，则 B，P，E 三点共线，此时 BE＝ 14