o解析：因正四面体的棱长为（，则正四面体的高为t3V6,即r=因正四面体内切球半径是高的12°K6答案：12a考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练梦点空间几何体的结构特征[基础自学过关][题组练透]1：给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥：③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线：②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱S台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D中被截去一部分，其中EHIIA'D'剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析：选C由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱，故选C第6页共138页
第 6 页 共 138 页 解析：因正四面体的棱长为 a，则正四面体的高为 6 3 a. 因正四面体内切球半径是高的1 4 ，即 r＝ 6 12 a. 答案： 6 12 a 空间几何体的结构特征 [基础自学过关] [题组练透] 1．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；② 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几 何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱 台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定 相等． 2．如图，长方体 ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中 EH∥A′D′.剩下的几 何体是( ) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析：选 C 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选 C
3.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（B. 10V3A. 10C. 10V2D. 5V3解析：选B设圆锥的底面半径为r，高为h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2元r=20元，所以r=10，所以h=202－102=10V34.(2020·全国卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四校锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）Vs-1V5-1B.A.2V5+1V5+1D.C.2解析：选C设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h21+ V51+ V5以m2ax2aXm，即h?=am①易知h2+a?=m?由得m=2,所以2a-2a21 + V5故选C.4.[练后悟通]空间几何体概念辨析题的常用方法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系定义法或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例反例法即可上考点空间几何体的表面积[基础自学过关]】[题组练透]1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为01，02，过直线010的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）第7页共138页
第 7 页 共 138 页 3．把一个半径为 20 的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A．10 B．10 3 C．10 2 D．5 3 解析：选 B 设圆锥的底面半径为 r，高为 h.因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半 圆的半径等于圆锥的母线，所以 2πr＝20π，所以 r＝10，所以 h＝ 202－102＝10 3. 4.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的 形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于 该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面 正方形的边长的比值为( ) A. 5－1 4 B． 5－1 2 C. 5＋1 4 D． 5＋1 2 解析：选 C 设正四棱锥的高为 h，底面正方形的边长为 2a，斜高为 m，依题意得 h 2 ＝ 1 2 ×2a×m，即 h 2＝am ①，易知 h 2＋a 2＝m2 ②，由①②得 m＝ 1＋ 5 2 a，所以m 2a ＝ 1＋ 5 2 a 2a ＝ 1＋ 5 4 .故选 C. [练后悟通] 空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系 或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例 即可 空间几何体的表面积 [基础自学过关] [题组练透] 1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的 截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A. 12V2元B.12元C.8V/2元D. 10元解析：选B设圆柱的轴截面的边长为x，则由×2=8，得x=2V2：S圆柱表=2S底+S侧=2×元×（V2）2+2元×V2×2V2=12元.故选B2.(2021河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AAi工底面ABC，AB工BC，AA1=AC=2，直线AiC与侧面AAiBiB所成的角为30°则该三棱柱的侧面积为(）A. 4+4V2B.4+4V3D. 8+4V2C. 12解析：选A连接AB（图略）因为AAI底面ABC则AA1IBC又ABIBCAANAB=A,所以BCI平面AA,B,B，所以直线AC与侧面AA,B,B所成的角为ZCA,B=30°又AA1=AC=2，所以A1C=2VZ，BC=V2.又ABBC，则AB=V2，则该三棱柱的侧面积为2V2X2+2X2=4+4V2.3.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A.81元B.100元C. 168元D.169元解析：选C圆台的轴截面如图，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为1，则它的母线长为/=h2+(R-=（42+(3)2=5r=10，所以r=2，R=8.故S侧=元(R+r)/=元(8+2)×10=100元，S表=S侧+元+元R*=100元+4元+64元=168元，4.如图，设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，则此正三棱锥的表面积为解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点0作OELAB，与AB交于点E，连接SE，则SELAB，SE=h'，第8页共138页
第 8 页 共 138 页 A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 解析：选 B 设圆柱的轴截面的边长为 x， 则由 x 2＝8，得 x＝2 2， ∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2) 2＋2π× 2×2 2＝12π.故选 B. 2．(2021·河南周口模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30°， 则该三棱柱的侧面积为( ) A．4＋4 2 B．4＋4 3 C．12 D．8＋4 2 解析：选 A 连接 A1B(图略)．因为 AA1⊥底面 ABC，则 AA1⊥BC，又 AB⊥BC，AA1∩AB ＝A， 所以 BC⊥平面 AA1B1B，所以直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为∠CA1B＝30°.又 AA1 ＝AC＝2，所以 A1C＝2 2，BC＝ 2.又 AB⊥BC，则 AB＝ 2，则该三棱柱的侧面积为 2 2 ×2＋2×2＝4＋4 2. 3．已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，若母线长为 10，则圆台的表面积 为( ) A．81π B．100π C．168π D．169π 解析：选 C 圆台的轴截面如图，设上底面半径为 r，下底面半径 为 R，高为 h，母线长为 l， 则它的母线长为 l＝ h 2＋(R－r) 2＝ (4r) 2＋(3r) 2＝5r＝10， 所以 r＝2，R＝8. 故 S 侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π. 4.如图，设正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，则此正三棱锥的表面积为 ． 解析：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE ⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，SE＝h′
S侧=2S底V3153a-ha2×224..a=V3h'...SO1OE,..SO2+OE?=SEx:3 +(×/5n=h2.h*=2V3,..a=V3h*=6.S m=→+-×6=9/5,Sm=25m=18/3.S表=S侧+S底=9V3+18V3=27~3答案：27V3[练后悟通]求解几何体表面积的类型及求法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法的表面积求多面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但的表面积要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的几何体的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表表面积面积考点空间几何体的体积[定向精析突破]考向1直接利用公式求体积[例1]（1)(2021·全国航一考试模拟演练圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为第9页共138页
第 9 页 共 138 页 ∵S 侧＝2S 底， ∴ 1 2 ·3a·h′＝ 3 4 a 2×2. ∴a＝ 3h′. ∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2 . ∴3 2＋ 3 6 × 3h′ 2＝h′2 . ∴h′＝2 3，∴a＝ 3h′＝6. ∴S 底＝ 3 4 a 2＝ 3 4 ×6 2＝9 3，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝9 3＋18 3＝27 3. 答案：27 3 [练后悟通] 求解几何体表面积的类型及求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法 求多面体的表面积 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但 要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的 柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表 面积 空间几何体的体积 [定向精析突破] 考向 1 直接利用公式求体积 [例 1] (1)(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的 球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为 ．
(2)(2021·江苏肃通联考)已知正三棱柱ABC-AiBiCI的各棱长均为2,点D在棱AA上，则三棱锥D-BB,G的体积为【解析】（1)截面图如图所示，因为圆台下底面半径为5，球的直径为10，则圆台的下底面为过球心的截面，OC=0B=5，0C=4，00' C="则圆台的高为3，V=h(S1+SS2+S2)=25元+20元+16元2=61元.(2)如图，取BC中点O，连接A0.：正三棱柱ABC-AiBiC的各棱长均为2，：AC=2，0C=1，则A0=V3：AA//平面BCCBI，点D到平面BCCiBi的距离为V31又：S△BBIG-×2×2=2，22V3...VD-BBICIX2XV32V3[答案]（1)61元(2)3考向2割补法求体积[例2]如图，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4，BC=2，沿中位线EF折起，使得ZAEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为D第10页美共138页
第 10 页 共 138 页 (2)(2021·江苏南通联考)已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均为 2， 点 D 在棱 AA1 上，则三棱锥 DBB1C1 的体积为 ． [解析] (1)截面图如图所示，因为圆台下底面半径为 5，球的直径 为 10，则圆台的下底面为过球心的截面，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠ OO′C＝ π 2 ，则圆台的高为 3，V＝ 1 3 h(S1＋ S1S2＋S2)＝25π＋20π＋16π ＝61π. (2)如图，取 BC 中点 O，连接 AO. ∵正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均为 2，∴AC＝2，OC＝1，则 AO＝ 3. ∵AA1∥平面 BCC1B1， ∴点 D 到平面 BCC1B1 的距离为 3. 又∵S△BB1C1＝ 1 2 ×2×2＝2， ∴VDBB1C1＝ 1 3 ×2× 3＝ 2 3 3 . [答案] (1)61π (2) 2 3 3 考向 2 割补法求体积 [例 2] 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线 EF 折起，使得 ∠AEB 为直角，连接 AB，CD，则所得的几何体的体积为 ．