设正四面体的棱长为x，在ABE中，由余弦定理可得x2元四，解得x=2V2.(V14)2cos033-2811X2×2×2=所以正方体的棱长为2，正四面体的体积V正四面体=V正方体-4×332设正四面体内切球的半径为r，由等体积法可得V正四面体=4×SABCXr8×r×;×(2/2)2sin=4X整理得33解得r=33-4（3)_4V3元4所以该四面体内切球的体积V元户3元3-.274V3元[答案]27【点评】本题为典型的表面距离最值问题，渗透了空间问题平面化的思想，考查了正四面体体积与内切球半径的计算，考查了空间思维及转化能力，体现了等体积法的应用.本题V2还可以采用常规方法求解正四面体的体积，即利用正四面体体积公式V：a（a为正四面12"体的棱长)求解：[典例2](1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD工平面ACB，则此时空间四面体ABCD体积的最大值为（16V35V3B.A.279D.C.14(2)如图所示，在长方体ABCD-AiBiCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AAi=a(a>3)，M是BC的中点，点P是矩形DCCD上及内部的动点，且满足APD=ZMPC，则三棱锥P-BCD的体积的最大值是[解析】（1)取AC中点O，连接DO(图略）.设LABC=,则αE(0,元),n0=2c0s所以D'O=ADcos,22第16页共138页
第 16 页 共 138 页 设正四面体的棱长为 x，在△ABE 中，由余弦定理可得 ( 14) 2＝x 2＋ x 2 2－2·x· x 2 ·cos 2π 3 ，解得 x＝2 2. 所以正方体的棱长为 2，正四面体的体积 V 正四面体＝V 正方体－4× 1 3 × 1 2 ×2×2×2＝ 8 3 . 设正四面体内切球的半径为 r，由等体积法可得 V 正四面体＝4× 1 3 S△ABC×r， 整理得8 3 ＝4× 1 3 ×r× 1 2 ×(2 2) 2 sin π 3 ， 解得 r＝ 3 3 . 所以该四面体内切球的体积 V′＝ 4 3 πr 3＝ 4 3 π 3 3 3＝ 4 3π 27 . [答案] 4 3π 27 [点评] 本题为典型的表面距离最值问题，渗透了空间问题平面化的思想，考查了正四 面体体积与内切球半径的计算，考查了空间思维及转化能力，体现了等体积法的应用．本题 还可以采用常规方法求解正四面体的体积，即利用正四面体体积公式 V＝ 2 12 a 3 (a 为正四面 体的棱长)求解． [典例 2] (1)如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，现将△ACD 沿对 角线 AC 折起使平面 ACD′⊥平面 ACB，则此时空间四面体 ABCD′ 体积的最大值为( ) A. 16 3 27 B． 5 3 9 C．1 D． 3 4 (2)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，侧棱 AA1＝a(a＞3)，M 是 BC 的中点，点 P 是矩形 DCC1D1 上及内部的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥 PBCD 的体积的 最大值是 ． [解析] (1)取 AC 中点 O，连接 D′O(图略)． 设∠ABC＝α，则 α∈(0，π)， 所以 D′O＝ADcos α 2 ＝2cos α 2
SaABC=×2×2sina=2sina.2a8a因为DO1平面ABC，所以V四面体ABCDSAABCXD'O=_sinacossin-cos-231220元S，则0<t<1，V四面体ABCD设t=sin5(t-t)(1 - 3t), 0 <t<1.设)=(t-t),0<t<1,则F (0)=y3V3所以当0<t<时,()>0,0单调递增：当<t<1时,()<0,t)单调递减3K316V3所以当1=时，八)取得最大值一27T.16V3所以四面体ABCD'体积的最大值为.故选A.27(2)由题意知ADLDP，CPLCM因为ZAPD=ZMPC，所以 RtAADP-RtAMCP.因为M是BC的中点，ADPD所以C-FC=2,即 PD=2PC.作POICD于点O(图略），设DO=xPO=h则2+h2=2(3-+1化简得3h2=-3x2+24x-36,0≤≤3.根据函数的单调性知当x=3时，3h2取最大值9，所以h的最大值为V3因为在长方体ABCD-AiBiCD中，PO1平面BCD，所以三棱锥P-BCD的体积的最大X3X3XV3-3/1.1值V=3*223V3[答案] (1)A (2)2【点评】这两道题均考查了函数在研究立体几何最值问题中的工具性作用.本例(1)是以角为变量，建立三角函数，既考查了三角函数模型的应用，又考查了立体几何知识.本例(2)是以线段的长为变量，建立代数函数，考查了二次函数在闭区间上的最值问题，第17页共138页
第 17 页 共 138 页 S△ABC＝ 1 2 ×2×2sin α＝2sin α. 因为 D′O⊥平面 ABC，所以 V 四面体 ABCD′＝ 1 3 S△ABC×D′O＝ 4 3 sin αcos α 2 ＝ 8 3 sin α 2 cos2 α 2 ＝ 8 3 sin α 2 1－sin2 α 2 0＜ α 2 ＜ π 2 . 设 t＝sin α 2 ，则 0＜t＜1，V 四面体 ABCD′＝ 8 3 (t－t 3 )． 设 f(t)＝ 8 3 (t－t 3 )，0＜t＜1，则 f′(t)＝ 8 3 (1－3t 2 )，0＜t＜1. 所以当 0＜t＜ 3 3 时，f′(t)＞0，f(t)单调递增；当 3 3 ＜t＜1 时，f′(t)＜0，f(t)单调递减． 所以当 t＝ 3 3 时，f(t)取得最大值16 3 27 . 所以四面体 ABCD′体积的最大值为16 3 27 .故选 A. (2)由题意知 AD⊥DP，CP⊥CM. 因为∠APD＝∠MPC， 所以 Rt△ADP∽Rt△MCP. 因为 M 是 BC 的中点， 所以AD MC＝ PD PC＝2，即 PD＝2PC. 作 PO⊥CD 于点 O(图略)， 设 DO＝x，PO＝h，则 x 2＋h 2＝2 (3－x) 2＋h 2，化简得 3h 2＝－3x 2＋24x－36,0≤x≤3. 根据函数的单调性知当 x＝3 时，3h 2 取最大值 9，所以 h 的最大值为 3. 因为在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，PO⊥平面 BCD，所以三棱锥 PBCD 的体积的最大 值 V＝ 1 3 × 1 2 ×3×3× 3＝ 3 3 2 . [答案] (1)A (2) 3 3 2 [点评] 这两道题均考查了函数在研究立体几何最值问题中的工具性作用．本例(1)是以 角为变量，建立三角函数，既考查了三角函数模型的应用，又考查了立体几何知识．本例(2) 是以线段的长为变量，建立代数函数，考查了二次函数在闭区间上的最值问题．
[课时过关检测] A级—基础达标1。将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D一个圆柱、两个圆锥解析：选D从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图所示2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为（）B. V5A. 5C. 9D. 3解析：选B圆锥的底面半径R=4，高h=3，圆锥的母线l=5，圆锥的侧面积S=元Rl=20元.设球的半径为，则4元=20元，r=5.故选B9V33.（2020·全国卷Ⅱ）已知△ABC是面积为一的等边三角形，且其顶点都在球0的球面4上。若球0的表面积为16元，则0到平面ABC的距离为（)B.2A.V3业D. C. 129V3编V32-9V3解析：选C 由等边三角形 ABC的面积为“，得AB=，得AB=3，则4ABC2nVAB=V3.设球的半径为R，则由球的表面积为16元，得4元R的外接圆半径r=$xAB==16元，得R=2，则球心0到平面ABC的距离d=R?-P=1，故选C.DC4.如图，在直四棱柱ABCD-AiBiCiD中，底面ABCD是平行四边形，B点E是棱BBI的中点，点F是棱CCi上靠近G的三等分点，且三棱锥A1-AEF的体积为2，则四棱柱ABCD-AiBiCDi的体积为(）B. 8A. 12C. 20D.18第18页共138页
第 18 页 共 138 页 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥 解析：选 D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线 把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕 它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图所 示． 2．已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该 球的半径长为( ) A．5 B． 5 C．9 D．3 解析：选 B ∵圆锥的底面半径 R＝4，高 h＝3，∴圆锥的母线 l＝5，∴圆锥的侧面积 S ＝πRl＝20π.设球的半径为 r，则 4πr 2＝20π，∴r＝ 5.故选 B. 3．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为9 3 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面 上．若球 O 的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为( ) A. 3 B． 3 2 C．1 D． 3 2 解析：选 C 由等边三角形 ABC 的面积为9 3 4 ，得 3 4 AB2＝ 9 3 4 ，得 AB＝3，则△ABC 的外接圆半径 r＝ 2 3 × 3 2 AB＝ 3 3 AB＝ 3.设球的半径为 R，则由球的表面积为 16π，得 4πR 2 ＝16π，得 R＝2，则球心 O 到平面 ABC 的距离 d＝ R 2－r 2＝1，故选 C. 4.如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形， 点 E 是棱 BB1 的中点，点 F 是棱 CC1 上靠近 C1 的三等分点，且三棱锥 A1AEF 的体积为 2，则四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为( ) A．12 B．8 C．20 D．18
解析：选A设点F到平面ABBiAI的距离为h，由题意得VA1-AEF=VF-A1AE.又1.1111SAAAE-h:AA1·AB)S四边形ABBiAi·h：VF-AIAE:=.(AAr·AB)-h =32-63665VABCD-ABICD，所以VABCD-ABCD=6VA1-AEF=6X2=12.所以四棱柱ABCD-AiBiCDi的体积为12.故选A.5.(多选)下列命题错误的是(）A，棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形解析：选ABD对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误.综上，A、B、D错误，故选A、B、D.6.（多选）(2021·山东临沂模拟）已知A，B，C三点均在球0的表面上，AB=BCCA=2，且球心0到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（）A，球0的表面积为6元B.球0的内接正方体的棱长为1C。球 0 的外切正方体的梭长为,D.球O的内接正四面体的棱长为22V3解析：选AD设球O的半径为r，AABC的外接圆圆心为O″，半径为R.易得R=3因为球心0到平面 ABC 的距离等于球 0半径的，所以产-=号,得=号,所以球 0 的3表面积S=4元=4元×=6m，选项A正确；球0的内接正方体的棱长a满足V3a=2r，显2然选项B不正确：球O的外切正方体的棱长b满足b=2r，显然选项C不正确；球O的内2V62V6V6接正四面体的棱长c满足c:“=×=2，选项D正确。7.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为cm第19页共138页
第 19 页 共 138 页 解析：选 A 设点 F 到平面 ABB1A1 的距离为 h，由题意得 VA1AEF＝VFA1AE.又 VFA1AE＝ 1 3 SS △A1AE·h＝ 1 3 × 1 2 AA1·AB ·h＝ 1 6 (AA1·AB)·h＝ 1 6 SS 四边形 ABB1A1·h ＝ 1 6 VABCDA1B1C1D1 ，所以 VABCDA1B1C1D1 ＝ 6VA1AEF ＝ 6×2 ＝ 12. 所 以 四 棱 柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 12.故选 A. 5．(多选)下列命题错误的是( ) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 解析：选 ABD 对于 A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于 B，由棱台的定义可 知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于 C，若三棱锥的三条侧棱两 两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于 D， 棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误．综上，A、B、D 错误，故选 A、B、D. 6．(多选)(2021·山东临沂模拟)已知 A，B，C 三点均在球 O 的表面上，AB＝BC＝CA＝ 2，且球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的1 3 ，则下列结论正确的是( ) A．球 O 的表面积为 6π B．球 O 的内接正方体的棱长为 1 C．球 O 的外切正方体的棱长为4 3 D．球 O 的内接正四面体的棱长为 2 解析：选 AD 设球 O 的半径为 r，△ABC 的外接圆圆心为 O′，半径为 R.易得 R＝ 2 3 3 . 因为球心 O 到平面 ABC 的距离等于球 O 半径的1 3 ，所以 r 2－ 1 9 r 2＝ 4 3 ，得 r 2＝ 3 2 .所以球 O 的 表面积 S＝4πr 2＝4π× 3 2 ＝6π，选项 A 正确；球 O 的内接正方体的棱长 a 满足 3a＝2r，显 然选项 B 不正确；球 O 的外切正方体的棱长 b 满足 b＝2r，显然选项 C 不正确；球 O 的内 接正四面体的棱长 c 满足 c＝ 2 6 3 r＝ 2 6 3 × 6 2 ＝2，选项 D 正确． 7．一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm， 则这个圆台的母线长为 cm
解析：如图，过点A作ACIOB，交OB于点C.在RtAABC中，AC=12 cm, BC=8-3=5(cm) .: AB=122 + 52 = 13(cm) .答案：138.已知等腰梯形ABCD，CD=1，AD=CB=V2，AB=3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D的面积为解析：法一：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，v轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O″E过E作EFLx轴，垂足为FDED'E/CBX因为 0E=N2)-12=1,以E"- F -4所以直观图A'B'C"D'的面积为S"X(1+3)X4322法二：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S=×(1+3)X1=2V2V2V2由S直观图=S 原圈形的关系,得 S 直观胞 X224K2答案：29.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为SA与圆锥底面所成角为45，若△SAB的面积为5V15，则该圆锥的侧面积为解析：如图，SA与底面成45°角，：.ASAO为等腰直角三角形设0A=r，则SO=r，SA=SB=V2r在ASAB中，COSLASB=26多,且ZASBE(0,180),VIs..sinZASB=d第20页共138页
第 20 页 共 138 页 解析：如图，过点 A 作 AC⊥OB，交 OB 于点 C.在 Rt△ABC 中，AC ＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)． ∴AB＝ 122＋5 2＝13(cm)． 答案：13 8.已知等腰梯形 ABCD，CD＝1，AD＝CB＝ 2，AB＝3，以 AB 所在直 线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为 ． 解析：法一：如图，取 AB 的中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交 DC 于 点 E，O，E 在斜二测画法中的对应点为 O′，E′，过 E′作 E′F′⊥x′轴，垂足为 F′， 因为 OE＝ ( 2) 2－1 2＝1， 所以 O′E′＝ 1 2 ，E′F′＝ 2 4 . 所以直观图 A′B′C′D′的面积为 S′＝ 1 2 ×(1＋3)× 2 4 ＝ 2 2 . 法二：由题中数据得等腰梯形 ABCD 的面积 S＝ 1 2 ×(1＋3)×1＝2. 由 S 直观图＝ 2 4 S 原图形的关系，得 S 直观图＝ 2 4 ×2＝ 2 2 . 答案： 2 2 9．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8 ，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为 ． 解析：如图，∵SA 与底面成 45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形． 设 OA＝r，则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r. 在△SAB 中，cos∠ASB＝ 7 8 ，且∠ASB∈(0,180°)， ∴sin∠ASB＝ 15 8