《高等代数》PPT课件-对称矩阵的标准形

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY证：取R"的一组标准正交基,0)(0)01.6.81 =9..0（0)(0)(1)则在基 81,82,…8下的矩阵为A，即0(81,62...8n) =(81,62....8n)Ay1X专任取RT-α=一.Y

1 2 1 0 0 0 1 , , ., 0 0 0 1 n                                        1 2 1 2 ( , ,., ) ( , ,., )     n     n A 证：取 的一组标准正交基， 则 在基 下的矩阵为A，即 任取 1 1 2 2 , , n n n x y x y R x y                        n R  1 2 , ,., n   

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY即 α = Xj81 + X22 + ...+ X,e, =(61,82..8,)X,β= yie + y22 +...+ y,e, =(c1,e2...en)Y,于是0(α) =0(81,82....8n)X =(81,82....8n)AX,0(β) = 0(81,82....8n)Y = (81,82....8n)AY,又 81,82.…,8n是标准正交基，:: (o(α),β)=(AX)'Y =(X'A)Y = X'AY= X'(AY) =(α,α(β)

1 1 2 2 . n n   y   y    y  1 1 2 2 . n n 即   x   x    x    (),   (AX)Y 于是 1 2 1 2 ( ) ( , ,., ) ( , ,., ) ,        n X     n AX 1 2 1 2 ( ) ( , ,., ) ( , ,., ) ,        n Y     n AY 又 是标准正交基，  X(AY ) 1 2 ( , ,., ) ,     n X 1 2 ( , ,., ) ,     n Y 1 2 , ,., n     (XA)Y  XAY  ,( )

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY又注意到在R"中 α=X，β=Y,即有 β'(Aα) =(β,α(α))=(α(α),β)=(α,α(β) = α'(Aβ)二、对称变换1. 定义设α为欧氏空间V中的线性变换，如果满足(α(α),β) = (α,α(β))Vα,βeV,则称。为对称变换

即有 又注意到在 中 1．定义  (),   , ( ), , V, 则称 为对称变换． 设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足  , ( )  (A ). (A)   , ()   (),    X,   Y , n R  

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITY2.基本性质1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：实对称矩阵可确定一个对称变换事实上，设 AeRnxn,A'=A，1,&2..,n为V的一组标准正交基．定义V的线性变换：0(81...8n) =(81...8n)A则即为V的对称变换

1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 1 1 ( ,. ) ( ,. )    n    n A 事实上，设 为V的 定义V的线性变换 ： 则 即为V的对称变换． , , n n A R A A     1 2 , ,., n     

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY2对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵事实上，设为n维欧氏空间V上的对称变换E18i1,62,8n为V的一组标准正交基，A=(a)E R"为在这组基下的矩阵，即0(81,82,"",8n) =(1,82,"",8n)A或o(e,)=a,e +a2ie2+...+anien1Zi= 1,2,,nauek,k=1

② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 为V的一组标准正交基， 事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换， 为 在这组基下的矩阵，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )      n      n A 或 1 1 2 2 ( ) i i i ni n    a   a    a  1 , 1,2, , n ki k k a  i n      ( ) n n A ij a R   1 , 2 ,, n    