线性代数第二章 设m'n矩阵A的行向量组a1,a2,L,4m,且 ù A= 专 4 i ú +ka i h ú5 B <O< aj ú SSS ú eee 4 ú i 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数第二章 由 LLL a;=(a;+ka)-kaj LLL am -am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示， 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同
线性代数第二章 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的 线性关系. é113 0ù 例3设矩阵A=) 0215其列向量 6024 a1,2,43,4间有线性关系：a4=u1+2a2-a3) 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量b1,b2,b3,b,间也有线性关系 b4=b1+2b2-b3 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的 线性关系
线性代数第二章 解：对矩阵A作初等行变换如下： el 1 3 0ù el 1 3 0ù 53-61 5+32 2 -1 2 -1 5 ú A ú 0 -6 -16 4日 0 0 -19 19 31 el 1 3 0ù el 1 03ù r-3r31 2 -1 2 0 ú +3 ú 0 0 1 -1 0 01 -1ǘ 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 解：对矩阵A作初等行变换如下 ：
线性代数第二章 51é1 10 3ù el 00 1ù 10 之上 1 0 =B 2' 0 01 -11 001-1ǘ 容易看出，B的列向量b1,b2,b3,b,间也有 线性关系b4=b,+2b2-b3 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系。 推论初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）秩 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第二章 版权所有：山东理工大学理学院 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩