一、本原多项式定义设 g(x) =b,x" +bn-ixn-1 +.+b,x+ b, + 0,b, E Z, i=0,1,2,...,n.若bn,bn-1,.…,bi,bo没有异于±1的公因子，即bn,bn-1,,br,bo是互素的，则称g(x）为本原多项式F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 一、本原多项式 设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + + − , 0,1,2, , . i b Z i n = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的
有关性质1. Vf(x)eQ[xl, rEQ, 使 f(x)=rg(x),其中g(x)为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）2. Gauss引理定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式F81.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 有关性质 1． f x Q x r Q ( ) [ ], , 使 f x rg x ( ) ( ), = 其中 g x( ) 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证：设 f(x)=a,x"+an--x"- +..+ao,g(x) = bmx" + bm-1xm-1 +...+b,是两个本原多项式。h(x) = (x)g(x) = +*+ + dum-++- ++d.反证法．若h(x)不是本原的，则存在素数 P,pld,, r=0,l,...,n+m.又f(x)是本原多项式，所以p不能整除f(x)的每一个系数。F1.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是两个本原多项式． 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m h x f x g x d x d x d n m n m + + − = = + + + + + − 若 h x( ) 不是本原的，则存在素数 p, 证： | , 0,1, , . r p d r n m = + 又 f x( ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f x( ) 的 每一个系数． 反证法．
令a,为αo,ai,…,an中第一个不能被p整除的数，即plar, ..., plai-1, pta,.同理，g(x)本原，令 b,为 bo,,bm中第一个不能被p整除的数，即plbo,pb,,plbi-1,p+b,又di+, =a,b, +ai+rbj-- +",在这里pldi+j,p+a,b，plai+ibj-1,…矛盾.故h(x)是本原的.F81.9有理系数多项式
§1.9 有理系数多项式 令 ai 为 a a a 0 1 , , , n 中第一个不能被 p 整除的数，即 1 1 | , , , . | | i i p a p a p a − 同理， g x( ) 本原，令 bj 为 b b 0 , , m 中第一个不能被 p 整除的数，即 0 1 1 | , | , | , , . | j j p b p b p b p b − 又 1 1 , i j i j i j d a b a b + + − = + + 在这里 p d p a b p a b | , , | , i j i j i j + + − | 1 1 矛盾． 故 h x( ) 是本原的．