的电荷增长门更快，图12表明，「这一张从关系以及外邻场的衰贼。在球外，表面积与“成正比地继续增3.2长，但所包同的电荷保持不变。奇异电荷分布电路理论中奇异函数的例子为冲激函数与阶跃函数。因为只有一个自变是即时间，所以电路理论仪与一“维"有关。在三维的场论中，时间冲激函数有三个空间的类比。它们是电荷的点，线和面分布，如图1.3.3中所说明的。象电路现论中的时间冲激函数-样，这些奇异分布是用积分来定义的。点电荷是占有体积为零的无限大电荷密度的极限。如定义9为净荷，(9)q-linJ,pde点电荷可以想象成一充满电荷的小区域，它的外而没有电荷。图1.3.2中的体积4元R/3趋近于零，而α=元poR保持有限时的极限就是一个例子。A+q线电荷密度面电荷密度点电荷(e)(a)图1.3.4用来定义线电荷密度的671益分氧和为da的丝状体积线电荷密度表示电荷密度的二维奇异性。这是装示细电荷丝的数学抽象，根拐图1.3.4所系的丝状体积，每单位长度的线电荷^(线电荷密度)定义为体积的截面积趋近于零，β趋近于无限大,而积分(10)aeleda保持有限时的极限。通常，是沿着曲线的置的函数。电荷密度的一维奇异性用面电荷密度表示，在表面附近电荷密度非常大。因此，作为垂直干该表面的坐标的函数，电荷密度是一维冲激函数。要定义面电荷密度，规定一药丸盒如图1.3.5所示，使得顶面和底面在此表面的两边。于是面电荷密度定义为极限用来定义面电荷密度的厚度为的体积元。1位于球坐标原点的点电荷11.3.51:
(11)*01-2式中坐标专选择成平行于表面的法线方向n。通常，面电荷密度α：是表面上位置的函数。图例说明点电荷的场图1.3.6中一点电荷9位于原点。没有其他电荷存在。根据与例1.3.1 所用的相同的论证，电荷分布的球对称性要求电场为径向的，且与e和Φ无关。高斯积分定律式(1)中的面积分的计算值等于表面积乘以E。因为会部电荷集中于原点，体积分得到，而与表而8的径向位置无关。因此(a2)preB,-}→E-Arterri,是与点电荷2相关的电场。图例说明 与重均匀线电荷相关的场一00 到 2=+0, 如图 1. 3. 7 所示。对于在半径r 处的观察者,线源在 ≥ 方均匀线电沿轴分布，从2=向的平移与源围绕x轴施转(在中方向)导致相间的电荷分布,所以电场一定仅与，有关。并且，E 只能有径间分量。要看出这点，假定 E有一2分量。于是系统围绕垂直于,并且通过z轴的轴旋转 180 度，一定要使场反向。然雨，旋转使电荷分布不变。这一矛盾只有B，=0才能解决。很明显，同样的旋转必须使E，为零。这一次,高斯积分定律应用于与 2轴其轴的,任意半径一的直圆柱体的表面 S。端部的贡献为零，因为那里的表面法线垂直于E。如果圆柱体的长度取为I,面积分就等于表面积 2ztr1与eE，的乘积，而体积分给出 A，与半径无关。这样，式(1)成为(13)2trleE,-n→Erz-i,即为具有密度入，的无限长均勾线电荷的场。图1.3.7均勾线电荷沿z轴分布，从一到+0。图1.8. 8 面电荷片与上表面在任意位置：处的积分体积。当外部电荷引起的场E。等于零时，绕轴旅转180度表明可得出电场是径向的结论电场分布是右边所示的不连续函数。例1.3.2.—对带有等量异号电荷密度的无限大平面的场考虑由在 28/2处占据整个平面的面电荷密度0。和在 28/2处异号的面电荷密度—0。所产生的场。首先,场一定是方向的。的确不能有核截轴的E的分量，因为当该 E分量施转时，系统围绕z轴旋转而保持相同的源分布。因此不存在这种分量。因为源的分布与和无关，E,与这些坐标无关。与的关系现在通过高斯积分定律式(I)建立。图1.3. 8所示的积分体积在—平面有惯截面积4。它的下表面位于下面电荷分布的平面之下的任意周定位置，而12