第2章自由空间中的麦克斯韦微分定律2.0引麦克斯韦积分定律包括了电路定律。从场到路的转移是通过使相应的体，面和周线与电极，导线和端口相联系而完成的。在第1章中以非正式的方式开始，随着以后几章的展开，积分定律将得到正式应用并受到检验。确实，积分定律的许多实验起源于包含电极导线等等的实验中。值得注意的事实是积分定律适用于体积与闭合面或曲面与闭合周线的任何组合，而不论与电路是否有关联。这一点已隐含在第1章应用积分定律来推导场的分布中。虽然积分定律可以用来确定高度对称图形的场，它们一般不适用于实际问题分析。其理由超出了实际系统的几何复杂性。源的分布一般是不知道的，即使当材料被理想化为绝缘体和“完纯”导体。在实际材料中，例如那些具有有限电导率的材料，场与源的自相一致的相互作用必须描述。因为积分定律适用于任意体积、表面与周线，它们也包含着适用于空间每一点的微分定律。本章中导出的微分定律为预计场提供更广阔的应川基础。同预料的一样，点的关系一定涉及该点附近存关场的形状的信息。因此，通过引入场对于空间坐标偏导数的办法把积分定律转换成点的关系。本章的计划是首先用一种类型的积分来写出各个积分定律。例如，在高斯定律的情况下，把面积分转换成对该面所包围的体积V的积分J,div(eE)d= f,E-da(1)这里div(e.E)是E的空间导数的一些组合，将在下节中确定。借助于现在接受的这个数学定理，高斯积分定律式(1.3.1)可以用体积分写成div(eE)dys(2)pdt通过使此表达式中的被积函数相等，就得到所期望的高斯定律的微分形式div(eoE)=p(3)如果两个积分相等，它们的被积函数也相等是正确的吗？般说来，答案是否定的，例如，如果被从0到1积分，其结果与2a/3在相的间隔内积分的结果相同。然而，对于每一个值，很少有等于21/3的。这是因为体积V是任意的我们才能使式(1)中的被积函数相等。对于一维积分，这等价于有任意的端点。当体积是任意的（端点足任意的)时，如果被积函数相等的话，积分只能相等式(1）左边的三维体积分与右边的二维面积分的相等类似于一维积分等于在积分端点计算.33
的函数值的情况。这就是说，假如算子der以这样一种方式对f(r)运算，使(" der(f)da=f(a)-f(r)(4)在，与2间的“体积”间隔内左边的积分通过此“定理”简化为在“面”上的计算，那里一，与3确定式(4）中算子der的步骤类似于在2.1与2.4节中分别用来导出散度与旋度算子的步骤，要计算der的点，取在积分间隔的中间，如fx图2.0.1。然后把间隔取成增量(=2—），且f(x对丁小的△,式(4)变成（x[der(f)=f(a2) f(r)(5)由此得出图 2. 0. 在端点r1 2 间定义的 的一般脑数[(+))-(r-222(6)der=103因此，如我们本来已知的，der是于对的导数。2.1与2.4两节中度与旋度算予的推导的副产品是在2.2与2.5节中将分别导出的高斯积分定理与斯托克斯积分定理。定理是数学关系且必须把它与物理定律区别开来，后者在物理变量之间建立物理关系。微分定律，连同是本章要点的算子和定理，总结在2.8节中和本书的求尾。2. 1 散度算子如果高斯积分定理式(1.3.1)在用体积分代替面积分的情况下写出，则必须找出一个算子，使待J,divAdv=f,A-da(1)为了求出这一散度算子div,把式(1)应用干增最体积AV。因为体积很小，左边的体积分可以看茅排五成是被积函数与体积的乘积。这样，矢量A的散度用面积分的极限来定义divA= lim Vd,A.da(2)n2. da>6731经计算，它就是r的函数。也就是说，在极限情d况下，体积以面上所有的点都趋近于点这样—(xy2)种方式缩小到零。如果此条件能满足，体元的实际形状可以是任意的-在笛卡儿坐标系中，种方便的增量体积是—-中心在(,,z)的直角平行六面体AAgz,如图 2. 1.1 确定敏度算子用的增盘体积元。图2.1.1所示。考虑△xAgz>0处的极限，式(2)的右边可用.34
$Ada[4(+)(a)+z[4(+)-4(s-))(3)+[4(c0,2+)-4(,,-)]来证似。当上式与AVAyz--起用来计算式(2)时，[A(A()divA=lm[A,(r,y+,)-A(,,)](1)+[ ()()Az由此得出在笛卡儿坐标系中，散度算子是dvA-4+ 84-04(5) 22这一结果提供了另一种表示法。定义del筑子为V+i-s(6) 这样式（5)可以写成divA--A(7)div记号使人联想到这个导数的组合描述所计算点附近A的流出量。定义式(2)是与坐标系的选择无关的。另一方面，del 记号提示在笛卡儿坐标系中的运算方法。这两种方式我们都果用，在笛卡儿坐标系中写方程时用del标记，但任课文中用散度的名称，习题2.1.4和2.1.6分别引出在圆柱坐标系和球坐标系中的散度算子（总绍正本书末尾的表1中)，并Ⅱ为导出一般定义式(2)，与特定的表示法之间的联系提供机会。第上五2.2高斯积分定理:使式(2.1.1)成立所要求的算子已用考虑增缺休元的办法确定。但对于有限尺寸的体积，此关系是否仍成立！由曲面S包的体积可以被细分成微分单元，如图2.2.1所示。每一个单元有它自己的表，第；个单元由面S，包围。我们现在证明欠量A在面S上的面积分等于在每一个面S：1的面积分的总和·35:
V.dada.BladeiLdcdouda.(6)图 2.2.1(a)在用裁面表示的体积V中,三个相互垂直的满片确定一增最体积。(b)有公共面的相邻体元。f, A da-[], A.da](1)肯先注意到相邻体元之间的两个面的面法线是反方间的，而对于这两个面，矢量A有相同的值。因此，如图2.2.1中所说明的，在S内部穿过分隔两个体元的面的通量相互抵消。对式(1)求和中没有抵消而有贡献的仅是穿过那些没有将一个体元与另一个分隔开的面，即位于S上的那些面的通量。但是因为这些面共同组成S，就得出式(1)。最后，将右边重写，式(1)成为2 la, Ada ay,f,A.da-(2) AV.式中AV：是第：个元的体积。因为这些体元是微分的，式(2）右边括号中的量可以用敏度算子的定义,式(2.1.2)表示f,A-da= Z(V-A),AV,(3)用对体积的积分替代对微分体元的求和，就得到高斯积分定理f,A.da= J,v-Ado(4)例 2. 2. 1 一—维的定理如果失量 A 是一维的,这样A-f(a)i.5体积√在我，和两平面之间，并在此二平面之间的任一一平面上有单位截面积，对此体积的积分，高逝积分定理会表明什么？体积V和面8示于图2.2.2。因为A是方向的，仪有的贡献来自右表面和左表面。它们分别有da=idydz和 da=—idydz。因此，代人式(4)衍到熟悉的形式印2两乎面之间的体积，它在！一！平通中有单位面积·36
f(a) -f(c):(6)它使人想起在引言中讨论过的一维类比。商斯定理把函数的导数与积分之间存在的关系扩展到三维2.3高斯定律、磁通连续性与电荷守恒在表1.8.1中总结的五个积分定律中，有三个涉及在闭合两上的积分。通过高斯定理式(2.2.4)，每个面积分现在都可用体积分表示。因为休积是任意的，被积函数必须相等，从而得到微分定律。高斯定律的微分形式可从该表中的式(1.3.1)得出(1)V0E-p磁通连续性的微分形式可从式(1.7.1）得出(2)VμO在积分的电衔守恒定律式(1.5.2)中，有-时间导数。因为我们所考虑的积分的儿何形状是固定的，时间导数可以放进积分号的里而，即空问积分可以在取了时间导数之后进行。但是因为不仅是t的函数，而也是(,9,2)的函数，求时间导数时要保持(,9,2)不变。于是，微分形式的电荷守恒定律用时间偏导数来陈述.J+--0(3)这三个微分定律总结在表2.8.1中。2.4旋度算子如果安培积分定律和法拉第积分定律式(1.4.1)和(1.6.1)用同一种类型的积分来写山，必须有-算子使得周线积分转换成面积分。这个算子称为璇度curlJcurlA.da-f,A.ds(1)柴+五通过使表陋成为增景面Aa的办法来确定这个算子。在要计算算子的特定点处，选择n方向并通过点r构筑一垂直Fn的平面。在此平面中，选择－环绕r的周线C，它包围增景面积Aa.由式(1)得出4(curlA).Hn f。A.ds(2)周线C的形状是任意的，只是在Aa→0的极限情况下，它的所有的点被假定为趋近于在研究中的点r.，这样-个有单位法线n的任息的面元在图2.4.1a中说明。由式(2）给出的旋度算子的定义与坐标系无关。. 37