gvxunUX图 1.11.1 仑蒸力F 与电场强度E,磁场强度H 和电脊速度的几何关系。 (a)电力,(b)磁力和(e)总力。根据力定律，我们只能建立磁通密度 μH的单位，直到1.4节才能论证H的导出单位为安培/米(A/m),从而μo的单位为亨利/米(H/m)。在大部分电动力学中，根据自身的理由，主要关心的不是力学而是电场和磁场。因此在核对一些量的单位时使用质量的单位是不方便的。对电场强度的单位引人一→个新的名称一一伏特/来(V/m)证明是有用的。在本章最后表1.8.2中给出的变量小结中，基本单位都是SI(国际单位制），而导出单位利用这一事实，使质量的单位千克=伏特一库仑一秒*/来*(kg=V.C.s/m")，并且库仑/秒=安培(C/s=A)。如果采用基本单位,方程量纲的核对是保证的，但在使用导出单位时也往往能达到目的。 后者联系了变量的物理性质与电的和磁的变量的固有对称性。例1,11。电子在有均匀静电场的真空中的运动在真空中，带电粒子的运动仅受到它本身惯性的限制。在图1.1.2所示的均勺电场中，不存在磁场，一个电子从0平面以初速出发外施”电场易为E=，式中为“方向的单位失量而。为一已知常数。这里要确定轨迹，并用来作为例1.2.1中电荷与电流密度的例证。如定义㎡为电子质量，牛顿定律结合洛仑兹定律来描述运动有图1,1.2承受均勺电场强度 E,的电子，对于正电场和负电场具有所示的作为时间函(4)数的位置电子的位置示于图1.1.2。电子电荷照例用e(e=1.6×10-9C)表示，式中是正的，因此式(4)中需要加上负号。通过两次积分，我们得5,=-$E,+0t+0式中e:与 o为积分常数。假定当时，电子是在5.-0处并有速度，由此得出这些常数为e=DI+量B+i0--t-2mBt于是，电子的位置与速度可以时间的函数形式表示为(7).=B(-t)"+u(-t)
--元8.(6) +0,(6)如规定为向上的，且B.>0，电子在电场中的运动类似于物体在重力场中的自由降落，如图1.1.2所示。“F<0，且初速也是正的时，速度是单调地增加的时间函数，也示于图1.1.例1.1.2.电子在有均匀静磁场的真空中的运动洛仑兹力中磁的贡献，既垂直于粒于速度，又垂直于外施场。我们通过考察由沿？轴的初速产生的轨道来说明这一事实。当均句恒定的磁通密度 uH 洛轴存在时，力为-e(UXuH)(9)量因子，所以由磁场引起的电子的加速度总是垂直于它的速度。因此，仅有磁两个失量的叉场不能改变电子速度的量值(因面也不能改变电予的动能），面仪能改变速度的方向。因为磁场是均幻的，又因为速度和速度的变化率位于垂直于磁场的平面内，最后，还因为的量值并不改变，我们得出加速度有恒定的量值，并且与速度和磁场都正交。电子在圆周上运动，以致离心力与磁力相平衡。图1.1.3a说明此运动。圆周的半径可通过使离心力与径向洛仑慈力相等来确定eμ:[o| H,-mo?(10)上述问题可加以修正以计及速度与磁场之间的任意初始角。矢量运动方程（实际是三个未知量、5、多，的三个方程）图1.1.3a）在均匀磁遵密度H，以方专：没有初速时，电子有匾形轨道。（b）在%-X)(12)方向有初速时，轨道是螺旋形的就5而言是线性的，所以解答可以查加以满足初始条件，它不仅包括速度，而且也包括方向的速度#。磁场同方向的运动不产生附加的力。因此，式(12)右边的9分量为零。积分则表明3方向的速度保持为它的初始值 9不变。这一均匀运动可以加到已经得到的结果上，从而看出电子沿着螺旋形的路径运动，如图1.1.3b所示得注意的是电子围绕着场旋转的角频率与电子的速度无关，而仅与磁通密度。H。有关。确实，从式（11)我们求得(13)HH磁通密度为1V-s/m或1 特斯拉(T)]时,回旋显率为f=0/2元=28GHz。 (对于个电子，8=1.602×10-18C和m=9.106×10-31kg，）当z方向的初为3×107m/s时，在磁通密度uH=1T的情况下，回施半径r0j2/0。=1.7×10-* m,1.2电荷密度与电流密度在发克斯韦时代并不知道电荷不是无限可分的，而以1.6×10-18C即电子电荷为基本单位出现，因此，麦克斯韦的宏观理论涉及连续电荷分布。对于由大量的基本电荷的聚集所产生的工程意义的场，这是恰当的描述。这些紧集产生的电荷分布，可以方便地用单位体积的电荷，即电荷密度p来描述。.79
取一增量体积并确定其内部的净电荷。则p(r, t)=AV 中的净电荷(1)是时间为t时在位置r处的电荷密度。p的单位为库仑/来(C/m)。体积AV要选得比所考虑的系统的尺寸小很多，但又要大到足以包含许多基本电荷。把电荷密度β作为位置的连续函数来处理。在这样的“宏观”处理中，忽略了电荷分布的“颗粒性”从根本上说，电流是电荷的迁移，并包含电荷的时间变化率的意义。电流密度是有向的每单位面积的电流,因i而用(库仑/秒) / 米[(C/s) /m门来度量。 电荷密度 p以速 度 运动意味若每单位面积的电荷迁移率，即电流密度J，可由下式给出(2)=pu设想这一关系的一种方法示于图1.2.1,图中具有速度的电荷密度p通过微分面积8a。面元有单位法线n，因此微分面积矢量可以定义为oα=noa。在微分时间dt内通过的电荷等于在体积&adt内包含的电荷。于是d(8g) pv.Sadt(3)除以dt,我们预料到式(3)会取 J.oa 的形式,从而得到由式(2)所表示的电流密度与电荷密度的关系速度是电荷的速度。电荷究竞怎样开始运动与物理情况有关。电荷可能悬浮在绝缘物质中或在它的上面，而绝缘物质本身在运动中。在这种情况下，此速度也就是物质的速度。很可能，这是将电场施加于导体的结果，如第7章中所要考虑的。对于在真空中运动的带电粒子，它可能起因于用牛顿定律和洛仑兹定律表示的运动,如 1. 1 节中的例子所述。下例就是这种情况。T」通过具有法向a的表面。图1.2.2电荷在下边界注人并归电场加速向上。(a)91.2.1电流密度电场预度，（b)速度和！c)电荷密度的垂直分布。例1.2.1.真空二极管中的电荷密度与电流密度考虑由r-0平面内的阴极“以初速发射的电子的电荷密度与电流密度，如图1.2.2a所示。电子是选续地注入的。如同在例1.1. ！中，所考虑的是个别电子的运动,且假定电场是均匀的。在下一节中,将认识到电荷是电场的源。这里假定用来施加均勾场的电荷，比起与电子有关的空问电荷”要多得多。在低电子电流的限度内这被认为是合理的。任一电子具有由式(1.1.7)和(1.1.8）给出的位置和速度。若每一个电子以相同的初速射人，则可预期在任一给定的=常数平面内电荷密度和电流密度将与时间无关。此外，通过任何平面的电流应与通过任何其他这种平面的电流相园。这就是说，在稳态，电流密度不仅与时间无关，而且也与无关，因此，可以写成①这里我们设想场变母，和p好象都是正的。对于电子，0<！，要使>0，必须有E，0，.8
(4)p(a)(a) J式中J。是络定的电流密度。以下的步骤说明这一电流连续性条件如何能够使得用时间作为自变量来描述粒子运动的叙述转变到用垒标(s, ,2)(或缩写为r)为自变量的叙成为可能。由式(1,1.7）所指述的电子的射间与位置间的关系取(1-)二次方的形式=B(-)(-)+-0此方程可以求解以得出粒子到达位置。所消逝的时间。注意在式(5)的两个可能的解答中，选择满足当1=1时,，=0 的那个解答01-0-2%8.5(6)t-tSR.利用此式，由式（1.1.8)给出的速度可以写成deo--2Ens.(7)现在我们转变观点。在式(7)的左边是在位置。一处粒了的速度。置换变量则得(8) -0-22E1因此成为用来表示因变量0。的自变盘。由上式与式(4)得到电荷密度(9) V好一华E也是表示成的函数。图1.2.2中所示的曲线是假定E，<0，因此电子具有的速度随单调增长。如所预期的，电荷密度随2的增大而减少，因为当它们加速时，电子变得稀少以保持电流密度不变。1.3电场强度的高斯积分定律1.1节的洛仑兹力定律表达了电磁场对运动电荷的作用。本章中剩余的几节与运动电荷对电磁场的反作用有关。要考虑的麦克斯书方程组的第一式即高斯定律，它描述电场强度如何与它的源相关。出表面S包围的任意体积V内的净电荷与穿过该表面的净电通量的关系为(1)f,oE.da-,pde图1.3.1中所示体积，其表面的法线规定为向外指。式中自由空间的介电常数e=8.854x10-12法拉/米(F/m)，它是用SI单位表示麦克斯韦方程组时所需要的一个实验常数。在式(1）的右边是被表面S包围的净电荷。在左边是遍及这同一闭合表面的通量.E·da的微分贡献的总和。图1.3.1包国体积Y的一般表面8。量eE称为电位移通注密度，并E出式(1)）单位为库仑/米(C/m)。在任何包含净电荷的风域外面，一定有净电位移通量
下面的例了说期进行体分和积分的技巧。例1. . 1.。 球对称电萄分布引起的电场给定「电背与电流分布后，积分定律就可究全地确定电场与磁场。然而，它们并不是直接有用的，除非是很一个例子是图1.3.2的球坐标系统中电荷密度分布为对称的情况。fPR<R(2)图1.3.2球对称电荷分布，表示电荷密度以及和关的径向电场强度与半径的关系。(b) 用来说明 E的恢截经向坐标的分量为零的旋转轴。这里P，和R是已知常数。根据球对称性的论证表明唯一可能的E的分量是径向的。E=i,E,(n)(3)确实,假定除了这个↑分量之外,场还有一个与分蛋。 则在一给定点，E 的分量就表现为如图 1. 3. 2b 所示。 所示的系统绕轴旋转导致在某一垂直于，的新方向形成E的分量。然而，旋转使该场的源，即电荷分布不变。可见 E。必须为零。类似的论证表明 E。也为零。增量体积元为(dr) (rdo) (rsintdg)(4)出此可得山具有任意半径“的球体租Jj[]sind)(rdodr(5)l(r' sind) (r'do)drp,R; R<rJ.J,J.Po'R计算（1)式的左边，注意到i,(rd) (rBinode)(6)这样，在任意半径+处的球表面$rE.da-fTE,(rsindb) (rd) -B,4mr!(m借助予(5)和(7)两式中求得的作积分和面积分，高斯定律式(1)表明,4a-R-E,=PARr<R(8a)tE.4rxp.RsE,-Pir<r(8b)在球形带电区域内，径向电场强度随平轻的平方而增加，因为即使相关的衣面象卡径的平方那样增长，它所包围:10