第5章根据边值观点的电准静态场5.0 引言在第4章中，我们讨论了电准静态场定律。电场强度E是无旋的，且可用电位梯度的负值表示E=-@(1)如果电位@通过泊松方程与电荷密度β相联系vo=-.(2)那么高斯定律就能满足。在无电荷的空间区域中，@服从拉普拉斯方程，即β=0时的式(2)。第 4章的最后部分我们致力于用“机会主义的”方法求边值问题的解。在4.8 节中描述的导致用场源叠加的方法求边值问题解的数值方法则是一个例外。在这一章中将用更直接的方法求解逆值问题，不必借助于数值方法。这是一种不仅作为极化与传导的效应加于EQS定律而有广泛应用的方法，而且在处理MQS系统时也是如此对于那些熟悉用常微分方程描述线性电路动力学的人们又一次存在着有用的类比。当把时间作为自变量时，对于在t=0时接通的激励的响应，可有两种方法去确定。第一种方法是把响应表示成许多冲激响应的叠加。最后所得到的卷积积分代表了t=0之前、之后甚至！-0时全部时间的响应。这与第4章第一部分中所持观点相似。第二种方法根据初始条件描述了在t=0以前的动态特性的厉史。如果所关心的只是t一0之后的时间，那么响应可分成“特殊的”和"齐次的”两部分。描述电路的微分方程的特解不是唯一的,但能保证我们所关心的时间范围内每一磷间，都能满足微分方程。这一特解不必满足初始条件。在这一章中，“激励"是电荷密度，特定的电佗响应保证泊松方程式(2)，在所关心的空间区域中处处满足。在电路的类比中，齐次解用来满足初始条件。在场的问题中，齐次解用来满足边界条件。在一个电路中,齐次解可以认为是对发生在t=0时刻前(在讨论的时闻范围之外)的激励的响应。在确定电位分布时,齐次的响应是由拉普拉斯方程,β=0 时的式(2)所预计的，并可认为或者是由位于所关心区域之外的虚设电荷引起的，或者是感应在边界上的面电荷引起的。在5.1一5.3节中这些观点的展开是自成体系的，并不依赖于对电路理论的熟知。然而，对于那些熟悉常微分方程解答的人，看到在这里处理偏微分方程所用的方法，是过去用以处理常微分方程方法的一种自然的延伸，将感到满意。虽然特解常常能更简单地用其他方法求得，但它直是由重叠积分得来的。因此，本章主要.110
讨论的是齐次解的确定，即求拉普拉斯方程的解。许多实际的结构具有可通过令三维坐标系中的一个坐标变量等于常数来描述的边界。例如，具有矩形横截面盒子的各个面可通过令一个笛卡儿坐标为常数来描述边界。类似地，一个圆柱体的边界自然地应用圆柱坐标系来描述。因此，我们将对自然地“符合”这些构形的拉普拉斯方程的解发生强烈的兴趣。讨论中将穿插许多例子，本章的大部分篇幅用来编列这些解答。。这些结果在本章中是用来描述自由空间中EQS场的。然而，当极化和传导的效应被补充到EQS的范围，以及考虑具有磁化和传导的MQS系统时，本章所建立的拉普拉斯方程的齐次解将是一种频繁应用的方法回顾第4章将识别许多拉普拉斯方程的解。只要场源在讨论区域之外，求出的电位就满足拉普拉斯方程。那么本章将要确定的解答有什么不同呢，从4.8节中采用的满足任意边界条件的数值过程可得到一些启发。在4.8节中，用N个拉普拉斯方程解的叠加来满足边界上N个点的条件。遗憾的是，为了确定这N个解的幅值，必须解N个方程求出N个未知量。本章求出的拉普拉斯方程的解也可弱来作为满足任意边界条件的一个无穷级数中的各项，但是在这一级数中各项的不同之处，是它们的正交性。解答的这一性质使直接确定这个级数中各项的幅值成为可能。通过对傅里叶分析的介绍，函数正交性的概念可能已很熟悉。总之，有关的基本概念将在5.5节中介绍。5.1泊松方程与拉普拉斯方程的特解和齐次解假设我们想要分析如图5.1.1所示的电准静态的情况。在我们关心的用休积V表示的部分空间中已规定了电荷分布 p(r)。这一区域由规定了形状和位置的理想导体所界定。施加在这些导体和封闭面上的电位是已知的，封闭面可以在无限远处。图5.1.1其中可能有电有冷布的间新关心的体积为了说明其上电位受约东的边界而，图中示出了n个隔离的表面和一个包鼠体积的闭合面。在导体之间的空间中，电位函数遵循泊松方程（5.0.2)式。在规定的体积√中，这个方程的特解可由重叠积分(4.5.3)式给出。p(r')dy0,(r)=j,.4xelr=r)(1)在体积V中各点工，这一电位避循泊松方程。由于我们1并不计算此方程在体积V外的值，式(1)
中要求的对源的积分，只需要包含体积√中的源。这就使得特解并不是唯一的这点很清楚，因为由体积V外任意电荷的积分造成的对电位的增添，只能引起一个在体积V中其拉普拉新导数为零的电位。式(1)是完整的解吗?因为它不是唯一解，所以答案当然应该是不。进一步说，跆解中并不包含有关导体的位置和形状这些信息是很清楚的。因此，一般来说，作为式(1)电位Φ，的负梯度所求得的电场，在电极表面具有有限的切向分量。另一方面，导体具有面电荷分布，它能自行调整使得产生在导体表面的净电场具有零值的切间电场分最。这些面电荷的分布最初并不知道，因此不可能包括在式(1)的积分中。走出这一困境的方法是：在这个空间中没有导体处，我们寻求的电位分布足两种电荷分布的结果。第一种是导致电位函数Φ，的给定的体电荷分布，第二种足分布在导体表面的电荷。由面电荷产生的电位函数在所关心的空间√中必须遵循无源的泊松方程。我们用电位函数Φ来表示齐次形式的泊松方程的这个解。那么，在体积V中，Φ。必须满足拉普拉斯方程。Vbn=0(2)根据叠加原理，总电位可写成Φ=0,+0(3)现在，求完整的电场分布的问题已简化成寻求一-个使式(8）的净电位在表面：上具有给定的电位：的解答问题。现在Φ，为已知的，并可在表面S，上求出其值。于是对S；计算式(3)的值，给出(0)=Φ,(S) +@n(S)因此，在边界S，上，现定齐次解答为@n(S) =V-Φ,(S)(6)所以，对于给定了边界上电位情况下的电准静态场的确定已简化为求满足由式(5)给出的边界条件的拉普拉斯方程式(2)的解问题。本节形成的方法是能应用于第4章最后部分中边值问题的另一观点。当然，图5.1.1提低的边值情况的抽象图形与图4.6.1的图形并无不同之处。在例4.6.4中，图4.6.8所示的电场是对于位于不带电的等电位球面电极附近的一个点电荷所确定的。在电极外所讨论的体积V中,体电荷分布是奇异的,即点电荷9。实际上,由式(4. 6.35)给出的电位，是式(3)的形式。特解可以看作是第一项，即点电荷的电位。而第二和第三项，等效于球体中两个虚设的也荷引起的电位，可看作是齐次解。为满足边界条件的叠加方法在以下几节中，将经常利用叠加作为满足边界条件的另一种方式。假设在体积V中没有电荷密度，非且在n个表面上每一个S，上的电位分别仍是。丁是@-0(6)Φ=u在S,上，j=1,n(7)解咨被分解为中，的叠加，Φ，是第3个表面上满足所要录的条件而点新有头地上为零的.112
一个解。0-2.(8)在S，@,=fo(9)在S...S.-.$S+.S.每一项都是拉普拉斯方程式(6)的一个解，所以它们的总和也是拉普拉斯方程的解(10)70,=0在5.5节中，提出了在包围所讨论的体积的四个表面中任何一个表面上满足任意边界条件的一种方法。电容矩阵假设在n个电极系统中，要求得第i个电极上的净电荷。根据式(8)，E·da在包围这个电极的表面S，上的积分为I-f evo.da=-fevo.da(11)由于拉普拉斯方程的线性性质，电位Φ，正比于激发这一电位的电压。由此得知，式(11)可写成独立于激励的电容参数的形式。即式(11)变为2-20u:(12)11其中电容系数是-$eovo,da(13)在第；个电极上的电荷是所有n个电压所作贡献的线性叠加。与自身电压相乘的系数C称为自电容，而其他的系数Cu,i3，都是互电容。5.2泊松方程解的唯一性在这一节中，我们将说明服从泊松方程的一种电位分布，如果在界定体积的表面上电位是确定的，那么在体积V中也是完全确定的。这样-个唯性定理所以是有用的，有两个原因：a)它说明如果我们已求出泊松方程的一个解。不论是通过数学分析还是物理理解，那么我们就求得了这唯一解；(b)它说明了什么边界条件适合于唯一地确定一个解。如在所讨论的区域中没有电荷存在，那么这一定理就陈述了拉普拉斯方程解的唯一性。根据“归谬法”，我们假设解不是唯一的，即存在两个解，Φ。和Φ，它们满足同一边界条件，然后我们来证明这是不可能的。我们推测的两个不同解Φ，和Φ，必须满足具有同一电荷分布的泊松方程，同时必须满足同一边界条件·113
(1)v0..-;@=在s上(2) V?0,=P焦上由此可将中定义为两电位之差值，，=()=0;0在上(3)现在一个很简单的论据证明Φ。既能满足拉界定V的表面S普拉斯方程又在所有边界面上为零的唯一方式是等于零。首先，论证@。在V内部任何一点上不可Vo的线能具有最大或最小位。借助于图5. 2.1，设想。梯度的负值为通过某一点r，的场线。因为电场是无散的(散度为零)，这样一根场线不能在V中发出或终止（参考2.7节）。进一步说，电场规定了图 5.2.1起始于边界面的某一部分经过点后终止于边界面的另一部分的电场线。一个电位(4.1.4)式。因此，当顺着负梯度方向沿着场线运动时，电位必须减小直到场线到达界定√的表面S，中之一时为止。类似地，当沿相反方向运动时，电位必须增加,直到到达边界表面中的另一个。因此,所有Φa(r)的最大和最小值必须位于表面上。在任何一个内点上的差值电位不可能设想比边界表面上电位的最大或最小值更大或更小。但边界表面本身处于零电位。由此可知，在V中差值电位到处为零，即=Φ。因此，对于用式(1)陈述的边值问题存在唯一的一个解。5.3连续性条件在金属导体的表面，电荷密度积聚在仅有几个原子间距的厚度中。在描述它们的电场时，对于在这个薄层内部电场分布的详细情况通常并不关心。于是，电荷用面电荷密度式(1.3.11)表示，并且把承载电荷的表面当作不连续的面来处理。在这样情况下，为了方便，常把要确定电场的体积分割成几个被这些不连续表面分陷开的区域，并用分片连续的函数表示这些电场。因此，就需要用连续性条件来联系由不连续表面分隔开的两个区域中电场的解。 这些条件包含在适用于整个区域的微分方程中。 它们确保电场甚至在通过不连续处都符合基本定律。四个麦克斯韦方程中的每一个都隐含了一个连续性条件。由于源的分布的奇异性，可用达些定律的积分形式将不连续表面两边的电场联系起来。如果定义失量n为不连续表面的单位法线,且由区域(b)指向区域(a),这些连续性条件汇总在表1. 8. 3 中。在 EQS 的近似法中,最重要的定律是没有电磁感应的法拉弟定律和高斯定律，即第 4章的前两个方程。因此，相应的EQS的连续性条件是nx|E-E}-0(1).114 :