第8章磁准静态场：重叠积分和边值观点8.0引我们现在仿效电准静态场的研究方法来研究磁准静态场。按照图1.0.1中概括的思路流程图，我们已经完成了左边的EQS栏。从右边的MQS栏的上部开始，回想第3章主要的定律是安培定律（忽略了位移电流密度)和磁通连续性定律（表3.6. 1)(1)[VxH-)V-MoH-O(2)这些定律已与交界面上的连续性条件相关。如果交界面上载有面电流密度K,那么，与(1)式相关的连续性条件是(1.4.16)式(3)n×(H"-Hb)-K与(2)式相关的连续性条件是(1.7.6)式(4)n.(μ.H"--μ.Hb)=0在磁化材料不存在时，给定场源电流密度J，这些定律就可确定磁场强度H。与电准静态场强度E不同，H并不是处处都是无旋的。然而它是处处无散的EQS和MQS的主要定律间的相似性和相异性是这一章和后面两章的课题。相似性将会精简叙述，而相异性会深化对MQS和EQS两系统的理解。第4章和第5章所提出过的思想在这里仍是有用的。 这样，对 MQS 系统来说，这一章仅起着像前面两章对 EQS 系统所起的作用一样第4章是通过把无旋场以标量位表示开始的。在这里，H一般不是无旋的，虽然在某些无源区域内它可能是无旋的。另一方面，即使在第9章介绍磁化的效应谢，广义磁通密度u.H仍是处处无散的。因此，8.1节着重于u.H的无散特性，并且导出矢量位所满足的矢量彤式的泊松方程，由此可以求得H场。在第4章中，电位被用来描述无旋的电场，我们暂停了对标最位的性质的讨论。同样地，这里我们可钻研用失量位表示一个无救场的通量的方法。用于两个原因，我们将把对失量位的这个解释的叙述放在稍后的8.6节中。首先，像我们在8.2节中将看到的，重餐积分方法常常用丁把场源即电流密度与磁场强度直接地联系起来，而不需要标猛位这个媒介物。其次，许多常见的涉及载流线圈的情形能够通过把线圈导线表示成面电流加以理想化。在这一理想化中，除面电流流动的一些表面外，空间其余部分都是无电流的。但是，出于除穿过这些装面外，H是处处无旋的，这意味着H场可以表示为个标量位的梯度。此外，由于磁场是无散的(至少在这一章中，这236
里不涉及磁化材料)，所以标量位遵循拉普拉斯方程。这样，EQS系统中所提出的解拉普拉斯万程的大多数方法也可用1求MQS系统的解。以这种方式，我们将发现对前面几章己求解过的“对偶”情况。在8.4节中，这一方法将被推广应用于存在完纯导体的时变的准静态磁场，最后，在第9章中，我们将把这种方法推广于含有分块均勾和线性磁化材料的问题中。唯一地确定的失盘场一矢量场由它的度和旋度唯一地确定。将要在以后各节应用的这一事实可通过对5.2节所讨论的唯一性定理稍作·些修正得出。假定给定失量函数 C(r)和标量函数D(r)，并分别表示一个矢量函数F的旋度和散度(5)V×F C(r)·F--D(r)(6)此附,假如函数C(r)和D(r)处处给定并且具有与F在无限远处趋于零相一致的分布，则以前对唯一性证明中的相同论证表明 F 也可被唯一地确定。假定 F，和F，是式(5)和(6）的两个不同解，那末它们的差解Fa=F,一F，既是无旋又是无散的(7)VxFa=0(8)·Fa=0这个差解受与5.2节相同的方程支配。如果将F。取成拉普拉斯位的梯度，有关唯-性证明的其余步骤在这里仍然是同样适用的。唯一性的证明说期了两种微分矢量运算一—旋度和散度所起作用的重要性。在F欠量的分量偏导数的许多可能的组合中，这两个特定的组合有着相当重要的性质，它们的确定给出了有关F的全部信息。在第4章中，我们曾在给定失量源G=0和标量源D=p/e的条件下确定失量场F=E。在8.1节中，则是在给定标量源D=0和矢最源C=J时，我们要求出矢最场F=H。章，我们所采取的策略与第4章和第5章相类似。我们仍然可以考虑把场分成两部任这一分，一个是由电流密度引起的特解部分和一个满足边界条件所需的齐次解部分。这样，根据叠加原理可把场看作是特解和齐次解之和,则式(1)和(2)成为(9)VxH,-J(10)VμH,=0(11)VxH:=0V-μ.H,=0(12)在8.1—8.8诸节中，假定各处的电流密度部是给出的。导得的矢量和标母重登积分给出武(9)和(10)的解，而式(11)和(12)是不相关的。在8.4节中，所求解的是由完纯导体包围的自由空间区域内的场。(11)和(12)式被求解并H在没有利用特解的情况下使边界条件得到满足。在8.5节，电流是被强加的但只限于在表面上，可采用边值方法去求出特解。最后，8.6节以一个例题结束。在这个例题中，所感兴趣的区域内包含有完纯导体（完纯导体丧面感应山面电流，它产生齐次解)所界定的体积地流密度(它给出特解)。- 237
8.1矢量位和矢量泊松方程(8.0.2)式的通解是(1)uH-VXA式中A是矢量位。正如E=一grad@是EQS方程curlE=0的“积分"一样，(1)式也是(8.0.2)式的“积分"。记着，我们可以给加上一个任意常数而不影响E。就失最位来说，我们可以给A加上一任意标量函数的梯度而不影响H。的确，因为√×(V)=0,我们能够用A'=A+V来代替 A。A 的旋度与 A' 的相同。我们可以把(1)式解释为根据假设的已知实际H场来确定A。但是像在引言中指出的，为了唯一地确定一失最，必须同时给出它的散度和旋度。要唯一地确定A，我们还必须给出它的散度。只是我们这里所规定的是根据方便性，它们将按其应用而变化。在MQS系统中，我们将发现如取矢量位是无散的(2)V.A=0将是方便的。有时，把以这种方式来规定矢量位叫作取规范。我们把已建立的(2)式叫做库仑规范。我们现在回到根据MQS安培定律（8.0.1)式，和磁通连续性定律(8.0.2)式来计算A，从而计算H。以失量位来描述磁通密度则可使后者自动地得到满足。把(1)式代入安培定律(8.0.1)式，此时给出(3)V×(V×A) = μJ下列恒等式是成立的(4)X(V×A) =V(V-A)-VA定义A为一无散矢量的原因就是为了从这个表达式中消去√·A项，以及将(3)式化为矢量泊松方程。(5) 'A--μ此式左边的矢量拉普拉斯算子在笛卡儿坐标系中定义为，它的每个分量都是标量拉普拉斯算子作用在A的各个分盘的结果。这样，方程(5)等价于三个标量泊松方程，每个方程对应于矢量方程的各个笛卡儿分量。例如，分量是"A,=-μoJ.(6)利用以下替换A→@和ugJ,>一p/eo，这个表达式就变成第4章中的标量泊松方程(4.2.2)。后面这个方程的积分就是重叠积分(4.5.3)式。这样，通过变量替换，可给出(6)式的积分4-%], d(7)· 238
以及对A的其它两个分量的两个类似方程，用；乘(7)式并且加上对应的和分量则可构造出欠位A。我们得到对于失量位的重叠积分[4(0)-会d(8)请记住，r是电流密度源的坐标，而，是要计算A之点的坐标，也即观察者的坐标。如果给定各点的电流密度值，这个积分可给出失量位。因此，原则上讲，计算出这个积分并根据(1)式取度就确定了磁通密度μH。8.0节末的定理明确指出当每--点的电流密度都给定时，（8)式给出的解确实是唯一的。为了使√×A是一个物理上的通量密度，J()不能足一个任意的欠量场，因为任意欠量的div(curl)是恒等于零的，准静态安培定律(8.0.1)式的散度给出V(V×H)=0=J,这样VJ=0(9)即磁准静态场中的电流分布必须是无散的。当然，从8.0节给出的唯一性讨论中我们知道，（9)式并不能唯一地确定电流分布。在欧姆导体中,，满足(9)式的稳态电流分布已在7.1一7.5节得到了确定。这样，这些分布中的任何一个都可用于(8)式中。即使在动态条件下，(9)式对MQS系统仍然有效。然而，在8.4-8.6节中及在将要详细进行讨论的第10章中,如果时间变化率太快，法拉第定律要求一一个有旋电场，这个电场在确定电流密度分布中起着作用。至于现在，我们假设电流分布是对于稳定的欧姆传导的分布。二维的电流和矢量位分布假设一也流分布J=iJ：（z，)存在于整个空间内，此时，根据(8)式，矢量位沿≥方向并且它的2分量遵循标量泊松方程4],倍ao(10)但是，此式与电荷分布p(,9")产生的标量位的表达式(4.5.3)=Ae, J.d(11)在形式上完全相同。直接对上面这个方程积分是不方便的。代替它的是，我们根据对称性和高斯定律确定线电荷的场，再对导得的表达式积分，得到电位(4.5,18)式@=2()(12)这里是离开线电荷的距离（—）（），r。是参考半径。这样可从二维积分计算出标量位-2, fe(a, )n((-(a- jro)drdg(13)二维的2方向电流分布的失量位遵循相司的方程，这样，利用相似性，适当变换参数后可得到解为· 239
[fJ.(,y)n(V(a-+@-/ro)dr'dy(14)从这一推导过程可得出两个重要的推论(a）每一种给定的电荷分布p(z,9)所产生的二维EQS位Φ(r,),都有一个与p(r,3)相同空间分布的电流密度 J,(s,)引起的 MQS 类似量位 A.(,9)。 磁场可从(1)式导出,于是μHVXA-(i+)xiA=-x(i+i)=-iXVA(15)因此，磁通密度线垂直于A，的梯度。如果把等位线看作是磁通密度线，EQS问题的场线和等位线图可转换成一个MQS场问题的场图。等A.线就是磁通线。(b）通过与(12)式类比,可给出沿≥方向量值为i的线电流的失量位(16)A,=---toln (r/ro)如果我们利用在极垒标系中的旋度表达式134i,-04i(17)H-10则这与(1.4.10)式给出的磁场H=i(i/2元m)是相一致的下面举例说明（8）式所需要的积分。在稍后的儿节和几章中，将应用与奇异电流分布相关的场。例题 8.1. 1与电流片相关的磁场如图8.1.1所示，沿z方向的电流密度均勺分布在位于z。和间的一条游带上。薄带的厚度A远小于所感兴趣的其它尺寸。这样，(11)式沿"方向的积分等于电流密度乘以A。因此，完成对的积分就确定出失量位A,--"inW)+(-g) /r)de(18)武中K,JA珠排五VCOS程 8.1. 2一对间隔为d平行于 ：轴,裁有相反方间电图8.1.1所示均勾电流薄片的等值4,流1的细导线。二维的偶极于场示于图8.1.3中。由面的数面图种磁道密度线，240