第7章传导与电准静态的电荷弛豫7.0 引言本章是主要与静电场和电准静态场有关的儿章中的最后一章。电场E仍旧是无旋的，所以能够用电位@表示。xE=0E--V0(1)E的源是电荷密度。在第4章中，我们把这个源的分布看作是规定的来开始我们对EQS场的研究。到第4章结束前，我们确定边值问题的解，在那里等位面用完纯导电金属电极代替。在那里，以及在整个第5章中,象面电荷密度一样存在于电极表面上的源与场自相一致。然而在体积内，电荷密度仍是规定的。在第6章中，两步中的第一步是对体积中的电荷密度作出自相一致的描述。在通过高斯定律使E与它的源相联系时，我们认识到存在两类电荷密度，p 和 P，它们分别表示不成对的和成对的电荷。成对的电荷与极化强度P有关，结果商斯定律可以写成式(6.2.15)V·D=p?式中D三E.EP。在第6章中，一直假定体积是完全绝缘的。这样，P，或者为零，或者是给定的分布。对于体电荷密度自相一致的描述的第二步，把表示不成对电荷守恒的方程(2.3.3)式J+e=0(3)加到式(1)和(2)。出现在此方程中的电荷确实是不成对的电荷密度，通过对有极化时的安培定律式(6.2.17)，取散度，并利用式(2)给出的高斯定律消去D得出。要利用这三个微分定律，必须规定P和J。在第6章中，我们知道前者通常由规定极化强度P或通过引人P和E间关系的极化构成定律来完成。在本章中，我们将几乎总是涉及线件电介质，那里D=eE。需要一个联系J。和电场强度的新的构成定律。因此后面诺节中的第一节致力于传导的构成定律。当7.1节结束时，在我们而前有微分定律,它们是本章的主题。在进行下面的推导之前，与电路理论作一类比是有帮助的。如果前两章被认为是描述含有相互联接的电容器的电路，如图7.0.1a所示，则本章在电路中添加上电阻器，如图7.0.1b那样。假设电压源是阶跃函数。当电路由电阻器和电容器组成时，电路中也流和电压的分布最终只189
图7.0.1电位和电流密度的EQS分布类似于电阻器和电容器网络中的电压和电流分布。（a）完纯电介质和完统导体系统类似于电容网络。(b)本章中考虑的传导效应类似于在网络中乘加电阻器所引入的效应。由电阻器确定。这就是说，当t->o时，电容器停止充电，并且等效于开路。于是电压的分布曲通过电阻器的稳定电流确定。在这一长时间的极限情况下，电容器上的电荷决定于已经根据电阻网络确定的电压，稳定出流类似于在电荷守恒表达式(3)中apa/at-0时场的情况。我们将会发现,(1)和(3)两式，当后者用由传导构成定律表示的J，写出，就完全确定电位和E的分布，从而也确定J的分布。正如图 7.0.1b 的电路中,电容器上的电荷用已经确定的电压分布表示一样，电荷分布可以用高斯定律式(2)，从已经确定的场的分布，以求后的方式求得。在7.1节中考虑了一般传导构成定律的物理基础之后,7.2—7.6诸节专门用丁稳定的传导现象。在图7.0.1b的电路中，在阶跃电压施加后的--瞬间的电压分布由电容器决定，而与电阻器无关。 根据场论的观点,这是第 4 和 5 章中所描述的物理情况。 7.7一7. 9 诸节的目的是建立起对于这场与源的初始分布怎样驰豫到已在7.2—7.6 诸节中研究过，当t→>20时占优势的稳定条件的理解。在第3一5诸章中，对于导体，我们引用了“完纯电导率”模型。对于电准静态系统，我们将以对于“在什么情况下导体可以被看成是完纯的？"问题的回答，作为本章的结束。最后，如果场和电流基本上是静态的,则 EQS 和IMQS 的定律之间没有差别。这就是说，如果在MQS系统中2B/at是可以忽略的，法拉第定律仍简化为式(1)。因此，本章的前半部分不仅对EQS系统，而且也对一一些MQS系统中的稳定传导提供理解。在第8章中，我们从给定的电流密度分布确定磁场强度。假如变化率足够慢，使得电磁感应的影响可以忽略，在7.2-7.6诸节中所论述的稳定传导问题的解为开始讨论第8章提供了所需要的磁场源即电流密度的分布。究竞场能变化多快而不致产生电磁感应的影响？对于EQS系统，这个问题的回答出现在7.7-7.9诸节中，有限电导率和有限变化率的EQS 影响与它们在MQS中的对应量形成尖锐的对比，后者将在第10 章的后半部分研究。7.1传导构成定律存在物质时，场在空间变化至少在两个长度尺度范围内。微观尺度典型地是原子之间或分子之间的距离,而大得多的宏观尺度典型地是由材料构成的物体的尺寸。正如前一章所阐述的，极化媒质中的场是偶极子的微观尺度上的平均值。 实际上，实验确定的使宏观的 P 和 E 联系: 199
的极化构成定律(6.4节)，并不涉及微观场。在实验测得的值仍将用来计算宏观参数的条件下，我们假定在物质内部作用于不成对电荷或口由电荷上的平均力与洛仑兹力即式(1.1.1)有相同的形式。f=g(E+V×μH)(1)与极化电荷相反，自由电荷不是被约束在构成物质的原子或分子上，但在电场和磁场的影下，它能通过的距离比原子间或分子间的距离要大。通常，带电粒子与原子或分子的组成物相碰，因此由式(1)给出的力并不会像对在自出空间中的带电粒子那样导致均勾的加速度。事实上，在一般的传导过程中,粒子在所关心的时间范围内要经受那么多次的碰撞，使得它获得的平均速度相当低。这一现象产生两个结果。第，在时间平均值内，作用于粒子工力的平衡可以忽略惯性的作用。第二,速度太低使得磁场引起的力通常可以忽略。（磁力项导致霍尔效应，在金属导体中它很小并很难观察到，但是在半导体中由于电荷载流子达到的相对较大的平移速度，比较容易观察到。)在认为驱动力完全是由电场引起的，非且使它与正比于带电粒子的平均平移速度的“粘滞”力平衡的情况下，力方程变成(2)f--±l4lE=y+式中上面和下面的符号分别对应于正和负心荷的粒子。系数是正的常数，它表示由载流于与固定的原子或分子的碰撞引起的时间平均“阻力”，载流了是通过原子或分子而移动的。用迁移率 μ+表示,根据式(2),可把正和负粒子的速度写成(3)V=μE式中μ±=1±1/±。迁移率规定为正的。正和负粒子分别沿着或逆着电场强度而移动。现在假定有两类带电粒子，一类是正的而另一类是负的。它们可能是当盐溶解在水中时产生的正的钠离子和负的氯离子。在金属中，E电荷表示(零迁移率的)原子的空穴，而负的粒子是电子。于是，当N。和N-分别规定为每单位体积内这些带电粒子的数目时，则电流密度为(4)J.=N+19+lV+-N-19-1v负粒子通量构成的电流的方向与粒子运动的方向相反。囚此式（4）中的第二项有负号出现。此表达式中的速度通过式(3)与E相联系，所以得出也流密度为(5)Ja-(N+19+Iμ++N-Ig-Iμ-)E用同样的变量表示，不成对的电荷密度为(6)Pu=N+1Q+/N-19-1欧婚传寻通常，粒子密度N。和N-的分布由电场确定。不过，在许多材料中，式(5)括号中的量是材料的性质，称为电导率0。(7)[J=GE;O=(N.19iμ.IN-I9-Iu-)的MKS单位是(0一m）云西门子/米=S/m。+191
在这些材料中，电荷密度N，9.和N-9-保持相互（近似)平衡，所以外施场对于它们的和儿乎没有作用。这样,电导率α(r)在非均匀媒质中规定为位置的函数，用材料中的 N+分布和局部迁移率表示，它们也可以是的函数。式(7)给出的传导构成定律是欧姆定律在场理论的意义上的推广。一些常见材料的电导率的值在表 7.1.1中给出。记住任何构成定律的应用都是有限制的，欧姆定律也不例外，这是重要的。对于金属和半导体，在充分大的尺度上，它通常是好的模型。它也被广泛用于处理电解质。但是，当材料变成半绝缘体时，它的有效性就成问题。表 7.1. 1 各种材料的电导率固体状态的金风和合金α-S,m,200时铝，工业用冷拔3.54X10m期，退大的5.80X(0%钢，冷拉5.65×107金，完全延伸的4.15X107饮,99.98%1.0X10钢粉0.5-1.0 ×100.48X109中2.17×10%锦络合金0.10×107缘1.28×10根，99.98%6.14X1071.81X107半绝终和电介质固！酚醛塑料(平均值范围)*10-8-10-1赛璐珞*10*玻璃,普通的*10~12硬橡皮*10-14-:0-10云胜*10-110-15石蜡10-14-44-1石英，格凝的*小于.0硫*小0聚四张乙烯小于10-水银0.1X107酒糖，15°℃3.3X10-*蒸馏水，1802X10-*玉米淇5X10-*对于离度绝绿的格料，缺娘定律的行效性是可怀疑的，电导率的值只在估算时有用。192
单向传导要建立对欧姆定律本质的了解，把它与单向传导的定律对比是有用的。在后一种情况下，只有一种符号的带电粒子在中性的背景中运动，因此代替(5)和(6)两式的电流密度和电荷密度的表达式为(8)J.=loluE(9)式中电荷密度p现在带有它自己的符号。用这些关系描述的典型情况是离子通过空气的迁移。要注意只是在有净电荷密度的时候，在单向传导中才存在电流密度。相反地，对子欧姆传导,电流密度和电荷密度分别由(7)和(6)两式给出，在没有净电荷密度的地方可以有电流密度。例如,在金属中,带负电的电子通过固定的带正电原子的背景运动。这样,在(7)式中 μ+-而电导率完全起因于电子。但由（6)得出，正电荷确有重要的作用，在那里它们可以使电子的电荷密度等于零。我们常常会发现在欧姆导体中，在没有净的不成对电荷密度的地方，有电流密度。7.2稳定的欧姆传导为下两节作准备，考虑有线性极化率并用欧姆定律式(7.1.7)描述的材料中的场。J=g(r)E; D=e(r)E(1)通带，这些特性是位置「的函数。典型地，电极用来约束包围此材料的一些表面上的电位，如图7.2.1所示。在本节中，我们假定在任何给定的位置，电荷积聚的速率对电流密度的分布的影响可以忽略不计，在此意义上，激励基本上不随时间而变。这样，在电荷守恒定律式(7.0.3)中，不成对的电荷密度的时间导数可忽略。这意味着电流密度是无散的。(2)图7.2.1 由面8*和8*所包围的体积的图形。8上VE-0的电位是受约束的，而8*上电位的法当然，在 EQS近似中，电场也是无旋的。向导数是受约束的。(3)VXE-0>E=-将(2)和(3)式结合，得出电位分布的二阶微分方程(4)V.0V-0在均勾电导率（α二常数)区域中，它呈现熟恶的形式。(5)0=0·193