第9章磁N9.0引言第8章中所考虑的磁场的源是与通过材料的不成对电荷载流子的运动相关的传导电流。典型地，电流存在于某一金属中，而载流子是传导电子。在这一章中，我们将认识到材料还能提供另一种磁场源。这些就是永久磁铁磁场以及插人磁化材料后会使线圈的自感增大的原因磁化效应是由于物质的原子组成倾向于具有像磁偶极子的作用。把绕核旋转的电子想像成一个环行电流并且因此产生与例题8.3.2所讨论的电流环相似的磁矩是很自然的更使人惊奇的是已求得的单个电子的磁偶极矩。这个与电子自旋性质相关的磁矩被定义为玻尔磁子m=±易专(1)这里e/m是电子的电荷质量比，其值为1.76×10"C/kg，而2元元是普朗克常数，寿=1.05×10-3J.s，因此m。的单位是A·m。原子和分子的量子力学告诉我们，无论是出于轨道运动还是自旋运动，电子对它们的净磁偶极矩的贡献趋于相互抵消。能作出贡献的这些电子典型地是在一未填满的壳层内如果材料的每个原子或分子只贡献一个玻尔磁子，所导致的磁矩的估算表明来自构成一种典型固体的全部电子的轨道运动和自旋运动的献最好是趋于抵消，或者合成场效应确实很人。即使图9.0a）半径为R的环形电流：给出磁偶摄使每个原子或分子只贡献一个玻尔磁子的磁矩，华径为R的球形材料的磁偶极矩计它所产生的磁场也是可以与一个极强的传导电流近似为各个原子的磁偶极矩之和产生的磁场相比的。为了使这点明显，可把一半径为R载电流i的电流环(图9.0.1a)的磁场和堆积在球形域中（图9.0.1b)只有一个电子磁矩的偶极子的磁场相比较。在球形材料中，我们认为净磁偶极矩简单地是单个分子的磁矩m。乘以分子个数。每单位质量中分子的个数是阿伏伽德罗常数（Ag=6.023×102°分子数/千克·摩尔）除以分子重量Mo质量等于体积乘以质量密度p(kg/m)。因此，对于半径为R的球来说，磁偶极矩的和是m=m(ganp)(A))(2)4y假设图9.0.1中电流环的半径与球的半径B相同，多大的电流；将会产生与假想材料球相同的磁偶极矩呢？如果让(8.3.19)式给出的电流环的磁矩m-iaR等这个球的磁矩(2)式，山此可得出电流；必须是·275
i=m.np e.(3) 因此,对于铁(这里 p=7.86×10% 和 M。=56)和 10 cm 的半径来说,产生相同的磁矩所需要的电流是10°A。材料的磁化或者是永久性的或者是由施加外磁场而诱导的，与第6章中讨论的可极化材料是很类似的。在多数材料中，能够起作用的每个分子平均磁短远小于一个玻尔磁子。然而，强磁化材料能够产生可以与(2)式中由估算而得的磁矩相比较的净磁矩。本章中有关磁化的讨论与第6章极化的讨论相类似，正象6.1节中使用极化强度来描述电偶极子对电场的效应一样，9.1 节中引入的磁化强度将说明磁偶极子对磁场强度的贡献。 此外,9. 2 节中总结的 MQS 定律和连续性条件是以后几节的基础,也是第 10 章的基础因为永久磁铁是如此普遍，所以9.3节所讨论的永久磁化场比6.3节所讨论的永久极化电场要熟悉得多。类似地，当一块铁被引人磁场中时，它所受的力是9.4节的构成定律描述的感应磁化的普追证明。极化和磁化间的广泛相似性使得第6 章中的大部分例子类似于磁化例子。这在所考虑的材料的磁化强度与磁场强度线性相关的9.5和9.6两节中尤共是如此。因此，这几节不仅建立在前面关于极化几节中得到的结果之上，而且也给出了展开这两个专题的机会。9.7节中所考虑的磁路有着很大的实用意义，它作为示例说明了有强磁化材料存在时场计算的近似方法。磁化材料的饱和有着重要的实际意义。9. 6 和 9.7 两节的问题是磁非线性材料中磁场的人门。在 9.2节中,我们将把法拉第定律加以推广,使它能在这一章中用于预测包含有磁化的系统中的线圈的端电压。这一推广形式将在9.5节中用来确定包含磁化的终端关系。在以后几节中的例子将研究涉及磁化时法拉第定律的含意。像在第8章中一样，在这一章中我们只限于讨论能用完纯导电电路的端口变虽来模拟的例子。在9.2节中推广的包含磁化的MQS定律，构成了讨论第 10 章的主题MQS系统中电场的基础。9.1磁化强度物质中磁场的源是一些(或多或少地)作整齐排列的单个电子的磁偶极子或者是环行的电子引起的电流①。 我们现在来描述代表材料的磁偶极子分布对磁场的作用。在8.3节中，我们定义一面积为α载有电流：的电流回路的磁矩m的大小为m=ia。磁短失量被定义为与跨越电流环周线的表面相垂直且其指向决定于右手螺旋规则。在8.3节中，磁矩是沿球坐标系中的方向，已求出了电流环产生的磁场强度是H=nm[2cosoi,+ sin oiJ(1)这个磁场类似于与偶极短为P的电偶极子相关的电场。当的方向沿≥轴时，取(4.4.10)式的①对磁场起的作用可能类似于电药对电场起的作用的磁单极子实际上是可能存衣的，很是无疑役有工程意义。见Science Hesearch News,"In Search of magnatic monopoles",Vol.2l6,P.10s6(June4,1982).276 :
梯度即可给出电偶极子的电场(2)[2cosbi,+singi]E=Ane0因此，利用下列替换(3)>μompe即可从一种偶极子的场得到另一种竭极子的场，在6.1节中，电偶极子的空间分布是用极化强度P=N?来表示的，其中N是偶极子的个数密度。类似地，这里我们定义磁化强度为M=Nm(4)式中，N仍然是每单位体识中的微子数目。注意正像偶极矩力的类比最是uom一样，极化强度P的类比量是pM9.2涉及磁化时的定律和连续性杂件回想-下，电偶极子的空间分布对电场强度的彪响是由电场高斯定律的推广（6.2.1)和(6.2.2)式来描述的。(n)V.e,E--v.P+pu现在滋偶极子的空间分布对磁场强度的影也可类似地考虑用推广的磁通连续性定律uH--HM(2) 来描述。在这个定律中，没有与不成对电荷密度相对应的类比量。在包围具有法线n的交界面部分的增最体积上对(2)式积分可求得连续性条件n·μ(H--H)--n·μo(M-M)(3)根据对于极化的描述的类比性，(2)和(3)式右边的量可分别定义为磁荷密度P㎡和磁荷面密度m:(4)[Pu=-V-oM.(5)am=--nμo(M-Mh)包含磁化的法拉第定律磁通连续性定律的修正，，意味着麦克斯书方程组的另一定律也必须要加以推广。在1.7节引人磁通连续性定律时，我们发现它在法拉第定律中几乎是固有的。因为旋度的散度恒等于零，1所以法拉第定律的自由空间形式的散度简化为(6) V(VxE) 0---%(μH)+277
于是,在自由空间中，u.H 必须有一个至少是不随时间变化的常数的散度。磁通连续性定律又加J:这个常数应该是零的信息。在磁化材料存在时，(2)式表用量 μo(H+M)是无散的。为了使法拉第定律与这一要求相一致，现在这个定律可写成V×E=-%Cu(M+H)(7)磁通密度法拉第定律中 H 和M的组合及磁通连续性定律使我们自然地要定义一个新的变量，即磁通密度BB=μ(M+H)(8)这个量起着类似于(6.2.14)式定义的电位移通量密度D的作用。因为不存在宏观的滋荷单极了，所以B的散度是零。也就是说，磁通连续性定律式(2)，简单地变成v·B=0(9)而相应的连续性条件(3)式变成(10)n.(B*-Bb)=0用磁通密度表示法拉第定律可得到相类似的简化,方程(7)变为xE--aB/at(11)如果磁化被规定与H无关，通常最好直接在公式中引入M而不要引入B.然而，如果M作为H的函数给出，特别是如果它是H 的线性函数，最方便的方法是把M从公式中移出而使用B作为变量。考虑磁化时的端电压在我们讨论完纯导电线圈的端电压的8.4节中，不存在磁化。为了要包含磁化而推广法拉第定律要求端部关系也应被推广。前面导出端部关系时的出发点是法拉第积分定律(8.4.9)式。通过用B代替μoH，这个定律可被推广到包含磁化效应。另外,端部关系(8.4.11)式的导出是与前面相同的。因此，端电压仍是(12)但现在的磁通链是=],B-da(13) · 371
在9.4节中，我们将看到法拉第电磁感应定律，像这最后两个关系式所反映的，是测量B的基础。9.3永久磁化作为曾在古代使磁场的存在明显化的天然磁石的现今变型，永久磁铁今天是如此廉价地被大量制造，以致在家庭中被用来把注意事项钉在电冰箱上，并且可靠到可以用在电机、传感器和信息存贮系统的心脏部位。作为基本近似，一个永久磁铁可被模拟成有着特定分布的磁化强度M的某种材料。因此,在这一节中，我们将考虑由给定的M分布所产生的磁场强度。在没有电流密度J的区域中，安培定律要求H是无庭的。于是，用8.3节中引入的标量磁位甲来描述磁场强度常常是方便的。H----(1)从通量连续性定律(9.2.2)式，可接着导得甲满足泊松方程(2)V-uoM-pm/μoipm一规定的磁化强度可导致一确定的磁荷密度Pm这种情形类似于6.3节中所考虑的情况，在那里极化强度是预先给定的。结果是，P，是已知的。当然，磁化物体中的净磁荷总是等于零，这是因为如果在包含物体的全部体积中进行积分，-μ.H-da-0(3).Pmdu=第4 和第5章中阐明的在给定电荷分布下求解治松方程的技术可以直接应用于这里。例如,如果给定了整个空间的磁化强度并且不存在其它源，则标量磁位可由重叠积分给出。正如(4.2.2)式的积分是（4.5,3)式一样，(2)式的积分是 2(4)Y如果所研究的区域是由其上的边界条件已规定的某一种材料界定的，则（4)式提供了特解。例 9. 3. 1 均勾磁化围柱体的磁场强度图9.3.1中所示的圆柱体沿方向被均勾磁化，M=M。t。为了求出圆柱体内部和周国自由空间内的磁场 H,第一步是先计算磁荷密度的分布。均勾分布的 M 没有散度，因此在整个体积内 P=0。这样,H 的源是在发出和终止M 线的表面上。考虑到(9.2.3)式，它取面电荷密度的形式(5)Om=-n.po(M--Mb)-±uM.上、下特号分别归属于上、下端面原则上说，我们也能够应用重登积分求出别处的标量磁位。为了使积分简单起见，我们这里只限于求出轴上的值。这样，（4)式的积分化为在阅柱体的两个端面.工的积分uM.2npdooM,2np'dW-I. AA.Nt2)(6)4mμp"+(z+d/2)如巢使用绝对值使表达式不管沿2轴的位置如何都行效，则这些积分成为· 279