第4章电准静态场：重叠积分观点4.0引言首先从研究电准静态场开始的原因是因为这种矢量场的表示比较容易。法拉第定律的电准静态形式要求电场强度E是无旋的。VxE=0(1)电场强度是通过高斯定律与电荷密度β相关的。(2)V.e.E-p这样，电准静态场的源是一个标量电荷密度P，而在自由空间中，磁准静态场的源是个尖量电流密度，标量源比矢量源简单，这就是我们为什么首先从电准静态场着手的原因。本章的大部分是关于给定了β的分布，根据这些定律找出E的分布。但在本章结束之前我们将寻求被导体界定的有限区城中的电场。在许多实际的场合，只有在电场已经确定后，边界表面上的电荷分布才能知道。因此，本章为在第5章中解决边值问题作了准备。我们从建立电位开始，作为可唯一地描述无旋的电场强度的标量函数。梯度算子和梯度定理是推导的产品。然后，综合式(1)和(2)可得到泊松方程的标量形式。这个方程将被证期是线性的，由此得出，由电荷叠加产生的电场是有关的个别电荷所产生的电场的叠加。所得到的重叠积分说明了电位，因而也说明了电场强度如何由给定的电荷分布来确定。因此，在4.5节的最后，我们得到了求解式(1)和(2)的一般方法。在一个限定的区域中，如何确定电荷分布，使由此得到的电场满足边界条件的方法，将在4.6和4.7节中举例说明，最后，用重登积分法求解边值问题的更为一般的技巧，将在4.8节详细说明。对于那些对电路理论有一定基础的人来说，如果能意识到这一章和下一章使用的方法是早已熟悉的，将是有益的。在三维空间求式(1)和(2)的解，就象求解电路方程一样，只是电路中只有一维的时间，在电场问题中，电荷密度是激励函数。求出电路响应的一种方法是基于先求出对于一-个冲击的响应。然后，对任意激励的响应可由该激励源分解出来的各冲击响应的叠加来确定。这个响应采取了重尧积分的形式——卷积积分。作为我们研究的起点，泊松方程的冲击响应是一个点电荷的电场。因此,本章的主题是求解方程(1)和(2)的卷积方法。在下一章的边值方法中，还会利用我们熟悉的也路理论的概念。一个解由两个部分组成：由激励源产生的特解和满足边界条件所要求的齐次解。将会发现重登积分是找出特解的一种68
方法。4.1用标盘电位表示的无旋电场：梯度算子和梯度积分定理-个无旋电场从某一个参考点rrer到位r的积分是与它的积分路径无关的。这个结论是从式(1)对S面的积分得到的，如图4.1.1所示，S面由可选择的路径I和I限定的边界线所包围。斯托克斯定理(2.5. 4)式给出了Eds=0I.VxE.da=(1)斯托克斯定理用的是围绕S表面单一方向的周线的线积分，而电场从r到rrat，即从点a到b 的两个线积分是以相反方向沿周线进行的。考虑到路径增量的方向，式(1)等价于f.E.ds-f..E-dsE.ds'-0(2)A腔因此，对一个无旋场来说，两点闻的电动势与路径无关E.ds-fwE.ds'(3)如果一个场，它在两点间的线积分是与路径无关的唯一值，称为“守恒场”。如把参考点保持固定，则线积分就是积分终点r的标量函数。我们用符号Φ(r)定义这个标量函数(r"E.ds@(r) -@(rrer)= /(4)并且称Φ(n)为点「相对于参考点的电位。假如各终点组成了可以连接导线的“节点"，式(4)的电位差就是点相对于参考点的电压。典型地，后者是“地"电位。因此，对于一个无旋场，1.6节中定义的电动势就变成a点相对于b点的电压我们要说明标量函数 Φ(r)与电场 E(r)具有相同的表达内容。这是一个值得注意的事,因为一个r的矢量函数一般地说需用的三个标量函数来描述，警如用失量函数的三个笛卡儿坐标分最表示。另一方面，要说明@(r)只需r的一个标量函数。要注意表达式Φ(r）一常数表示三维空间中一个面。这类表达式的一个熟悉的例于就是描路径1S格径工三擀妆图4.1该装面s越的这干点产m图4.1,2所示两个等位面被包含它信法线简的利分路径丨利II的平而切过.62
述具有半径R的球面：*+9+2=R(5)电位为常数的那些面称为等位面。图4.1.2中所示是两个等位面的横截面，其中一个面通过r点，另一个通过r十△r点。如果把Ar看作微分失量，r+Ar点的电位和r点的电位相差一个微分量△Φ。这两个等位面不能相交。事实上，如果它们相交，那么r和r+Ar两点具有相同的电位，这就与我们的假设不特。图4.1.2中表示了从点r到点r+Ar所在等位面的最短距离An。微分几何学中设定，长度元An是与两个等位面都垂直的，由图4.1.2,AncosAr，可得A-cosr=on.r(6)式（6)中的矢量Ar可以是任意方向，它也其有任意的微分长度。确实，如果把距离An增大一倍，A@和Ar也将增大倍;△@/△n则保持不变，因此式（6)对任何（微分长度的)Ar都适用。我们得出结论，式(6)对于任何由r出发的微分矢鼠长度元Ar，斌予了一个标量，它的值正比于Ar 的量值，也正比于△r和单位失量n之间的夹角的余弦。这种对于失量的标量赋值可以表示为由失量长度元 Ar 与一个量值为 AΦ /△n方间为 n 的失量的标量积。也就是说，式(6)等价于A@grad@.Ar(7)其中电位梯度定义为grado=4n(8)因为式(8)与任何特定的坐标系无关,因此它提供了使梯度算子概念化的最好方法。同样的方程提供了在任何特定坐标系中所表示的gradΦ的算法，例如，在笛卡儿坐标系中有(9)r=ain+yi,+zi;Ar-Arir+Ayi,+Azig同时，对式(6)中Φ的微分变化的另一种表达A0(r+r,9+Ay,z+z)-(a,y,2)(10)A鉴于式(9)，这个表达式可写成=++)r=r(11)由此得出，在笛卡儿坐标系中，由公式(8)定义的梯度运算式为grad-i++(12)这里，引入了式(2.1.6)中定义的個三角形算了，作为表示梯度算子的另一种方式。本章最后的习题是作为例子以说明如何在其他坐标系中可以用类似的方法确定梯度，所得结果汇集于本书最后的表「中。·70
我们现在将证明电位函数Φ(r)可唯一-地确定E(r)。根据式(4),从点r到点r+Ar,电位变化为A=(r+Ar)-Φ(r)--*" .ds+f(13)Edsfr+srE.d式(13)中,前两个积分是根据Φ的定义公式(4)得来的。意识到ds就是Ar,且Ar是微分长度,因此,可以认为在失量 Ar 的这段长度中 E(r)是常量,则式(13)中最后的积分变为A@--E.Ar(14)失量元Ar是任的。因此,比较式(14)和式(7)，表明(15)E--Vo若给定电位函数@(r)，相关的电场强度就是Φ的梯度的负值。注意到我们还得到了一个有用的积分定理，因为如果把式(15)代人式(4),就有(16)f. p.ds=(r)-o(r)也就是说，电位梯度的线积分就是两端点间的电位差。当然，Φ可以是任何标量函数。回顾一下，我们能发现，由式（15)表示的E保证了它是无旋的，因为欠量恒等式(17)V×(v0) =0成立。标量位Φ的梯度的旋度为零。因此，给定一个按式(15)由电位表示的电场，那末(4.0.1)式自动满足，因为以上的讨论表明，电位@包含了有关电场E的全部内容，所以用grad@取代E构成了(4.0. 1)式的一个通解或积分。 一阶常微分方程的积分会产生一个任意积分常数,而一阶矢量微分方程curlE=0 的积分产生一个标录的积分函数Φ(r)。迄今，我们还没有对参考点r有过任何详细的说明。假如无穷远处电位的特性合适的话，通常把参考点设在无穷远处往往是很方便的。但对于一些特殊情况，这样选择参考点是不可行的。所有这些特例，都是涉及无穷大电荷量的问题。这种情况的一个例子是1.3节中第二个图例说明，由一个在士2方向延伸到无穷远的电荷分布所建立的电场。这个电场以反比于与带电区域的径向距离的规律衰减。因此，E的线积分即式(4),将从有限距离积到无穷远，涉及到(nr在两端点对应值的差值。如果一个端点移到无穷远，积分值就变成无穷大。对于延伸到无穷远但是不出现这类奇异特性的问题，我们仍假定参考点在无穷远处。例4.1.1等位面考虑与≥无关的电位函数(9)(18)(a,n-.+71
等位面可以用任何“！平面中的横截面图形来表示，在这些图中它们以图4.1.3所示的曲线出现。时干由式(18)给出的电位,在-平面中它的等位线是双曲线族。通过点(a, a)和(一a,一)的等位线的电位为 V, 而通过点(a,一a)和(一a,a)的等位线的电位为-Vn。E的量值正比于与等位面垂直方向上@的空间变化率。因此，如以相同的电位增量作出等位面，如图4.1.3中所做的(图中电位增量是 V。/4),则E的最值就与各等位面间的距离成反比。等位线的问隔越近，电场强度越高，图4.1.3中的电场线的箭头，总是从高电化指向低电位。注意到到由于电场线总是垂直于等位面，自然地在电场强度最大的地方，电场线的间距最小。例4.1.2梯度和线积分的求佩图4.1.3由式(18)给出的二维电位的管位面的横截面图我们的日的是通过直接计算作示例来说明在两给定点之间无场的线积分与积分路径无关的事实。特别是，考虑由式(18)给定的电位,鉴于式(12),电场强度可表示为E--v--K+)(19)我们将这个失量函数沿着图4.1.3质示的连接(1）和(2)两点的两条不同路径进行积分。对第一条路径Cs保持=a不变，因此 da=dziz。这样，积分式成为(20)[ E-da-' r,(r,a)dr --Loadr--2V对于第二条路径C,-a=0,通常ds=dzi十Ggin，因此所求积分为(21)I..E-ds-f..(Erda+E,dy)但是,对路径C,我们有 dg-(22)dz/a=0,因此式(21)变为Se E-ds- f.(B.+)drV(+22)dz=—2V(22)由于 E是通过取Φ的负梯腹求得的,因此是无能的,因而对于(20)、(21)两式给出相同的结果就不足为奇了。例4.1.3球形电荷云的电位均勾的静电荷分布P占有一个半径为R的球域。其余空间没有电荷（当然，无穷远处的平衡电荷除外）。下面将详细说明分片连续电位函数的确定。电荷分布的球面对称，使电场也是球面对称，因此可以根据商斯积分定律确定。接按照例1.3.1中的同样方法，求得电场强度为c<R(23).R'pR电位可以通过把参考点取在无穷远即00 处，求式(4)的线积分得到。积分路径为沿着通过源点的来直线。在球外区域，积分由下式给出0(0)-,e,dr=4np-p(A) r>R(24)· 72