第3章准静电学与准静磁学导言3.0引言由麦克斯韦方程组表示的定律是高度概括的。然而，它们在形式上是简单的。写成微分形式，它们是VxE=-!(1)atVH J+E(2)at(3).E-p(4)VuoH--o电场强度E和磁场强度H的源是电荷密度P和电流密度J.如果作初始瞬间，整个无源空间中电场和磁场是确定的，则微分形式的麦克斯方程组可预测这些场随后在空间和附间的发展。这个断言的证明是3.1节中我们的出发点。这使得认为场的物理意义是由于它本身造成的说法很自然。场能够存在于远离它们的源的区域，因为它们能作为电磁波传播。对这种波的介绍在3.1节中给出。可以证明，由法拉第定律中的电磁感应即式(1)中右边的项，和安培定律中的位移电流密度即式(2)中右边的时间导数项所引起的E和H间的耦介产型电磁波虽然没有源场也能够传播，但在它们被引发或被检测出的地方，一定与它们的源或汇有关。要这样做，必须利用洛仑兹力定律。在3.1节中，此定律用来完善牛顿定律并描述电荷分布的演一股说来，济仑弦力定律并不象它在此例中那样直接起作用；然而，它通常作为传导的构成变定律的基础，构成定律加到麦克斯书方程组使场与源相联系。最常用的构成定律足欧姆定律，它要到第7章才介绍。然而，在此以前的几章中我们往往把电极和导线模拟成完纯导电的，这是任这样的意义上，即洛仑兹定律所导致的电荷运动只是对材料中实际上不存在电场鼎度的方式下而言的。变克斯韦方程组描述最错综复杂的电磁波现象。当然，这种场的分析是困难的，并且不·一定总是必要的。在短的时间尺度或在高频时发生的波现象，这里往往不予关心。如果是这种情况，场可以通过应用于相对长的时间尺度和低频时的麦克斯韦方程组的简化形式来描述（准静态学)。3.2节的目的是确定两种准静态近似法，并且在这些近似法中按重要性的次序来排列定律。在3.3节中，我们找出如果这些准静态近似法中的任何一个被证明是正确的，一个必须满足的典型条件足什么。这样，如果电能波能在比所关心的时间更短的时间内通过系统的典型范围，49
我们会发现由完纯导体和自由空间组成的系统，或者是电准静态的（EQS），或者是础准志的(MQS),如果同样的条件都满足，证明EQS或MQS近似法都是正确的，我们您样知道该眉哪个！在3.3节中我们将开始在这方面形成见解。准静态近似法的正式证明可用被称之为时间变率展开式作为基础。随着时间变化率的增长级数中要求有更多的项。此级数的第一项用适当的准静态定律预计。在3.3节中，用一个具体的例子来说明这个展开式，以及由于省略了高阶项而引起的误差。无论它们是电磁的，或者也许是热的或机械的，好象是静态似地从一种状态进行到另一种状态的动态系统，通常都被认为是准静态性质的。在本书中，准静态场确实与它们的源有关，好象它们是真正静态的。这就是说，给定电荷分布或电流分布，就能确定E或H，而不需考虑电磁学的动力学。但是其他动态过程在确定源的分布时能够起作用在本章中我们准备考虑的系统由自由空间与完纯导体组成，在给定的准静态子区域内准静态的源分布与时间变化率无关。于是我们将发现几何形状和空间与时间尺度能单独确定子区域是微准静态的或电准静态的。3.4节中说明的是这种子系统的相互联系。根据电路理论已熟悉的方法，总系统所得到的模型在子区域中有按比例分配的源（EQS区内为电荷，而MQS区内为电流)，它们与时间变化率有关。在第7和10章中我们考虑了有限电导率的作用之后，存在许多用准静态模型表示动态过程的其他情况就很清楚3.5节再一一次提供概述，这次不是关于定律的，而是与它们有关的物质世界方面的。讨论是定性的，并且此节是供浏览用的。最后，3.6节小结电准静态的和磁准静态的场定律，它们分别是第4—7章和第8—10章的主题。在第12章中我们回到准静态近似法的论题，在那里再次考虑电磁波。在第15章中我们将会认识在第7和10章中传播的准静态学的概念（挪里考虑了损耗现象）使得归类于电静态的和磁准静态的区域不仅取决于几何形状和空间与时间尺度，而且也取决于材料的性质。3.1E由麦克斯韦、洛仑兹和牛顿定律所文配的世界的时间演变如果给定某些初始条件，麦克斯韦方程组与洛仑兹定律和牛顿定律·起淄述E和H的时间溃变。这可以通过把时间导数和电荷密度放在左边的麦克斯韦方程组，(1)一（4)式来证明。aH--k(×E)(1)at-2-1(0H-)(2)p=VoE(3)O-H(1)所关心的区域是真空，在那里具有质址m和电荷的粒子只受到洛仑滋力。因此，作顿定律(这里使用的是它的非相对论性的形式)也写成（粒子速度的)时间导数在左边，使电荷分布与场:50
联系起来(5)mde-g(E +xμH)右边的洛仑兹力是由式(1.1.1)给出的。假定在一特定瞬间 t=to,我们已知所关心的整个空间的场 E(r,to）和 H(r,to)。般定我们还知道当=t。时所有电街的速度(r,t)。则从高斯定律式(3)可得，在此同-一瞬间，电荷密度的分布是已知的(6)p(r, to) -y-eE(r,to)因此可得在时间t=t。时的电流密度为(7)J(r, to) =p(r,to)v(r, to)为了当t=t。时式(4)被满足，我们必须要求给定的H分布是无散的。旋度运算只和空间导数有关，所以剩下的定律，式(1)、(2)和(5)的有边现在可以计算。因此，当1=t。时已知的量 E，H 和的时间变化率现在就知道了。这使我们能够计算在稍后的解间，当t=t。+t时的这些量。例如,在此稍后的时刻,(8)这样在整个空间，当t=t。+4t时我们着手研究相同的三个关量函数。这个过程可以重复进行以决定在以后任意时刻的分布。注意如果根据式(4)的要求,H的初始分布是无散的，所有以后的分布也将是无散的。这可以出取法拉第定律式(1)的散度,并注意到旋度的散度为零得出。因为要求表示出随者一给定粒子运动的观察者所测得的时间导数，式(5)的左边写成全导数的形式。上面的论证表明，在自由空间，对于已知的初始E、H和,洛仑兹定律(这里和牛顿定律-起使用)和麦克斯书方程组将决定所有以后时刻的电荷分布以及相关的场。，在这个意义，麦克斯韦方程组和洛仑兹定律可以被认为对自由空问中电动力学的相互作用提供了完整的描述。通.常，包含有不止一类电荷，并日带电粒子以比简单地用牛顿定律和洛仑兹定律所表示的更为复杂的方式对场响应。在那种情况下,式(5)所起的作用由传导构成定律取代,但它仍然反映洛仑兹力共仓定律从前面的讨论中显露出麦克斯韦方程组的另一个有趣的性质。电场与磁场是耦合的。E的时间演变,部分地决定于 H 的旋度式(2),并且类似地,是 E 的旋度决定了 H 随时间变化多快,见式(1)。例 3. 1. 1 电磁波的演变电磁感应与位移电流的相互作用可通过考感在笛卡儿坐标系中场从初始分布(9)E-Erie-rnH-Nolu,B,isena(10)的演变来说明。在此例中,我们令6。=0,所以这费是当t=0 时的场。图3.1.1,中所示的这些场是横向的，它们的方向垂直于它们与之有关的坐标。从而，它们两者都是无做的，并且高斯定律使得我们所考虑的物理情况:51 :
图3.1.1例3.1.1的E场和H场的简略表示一分布以光速·向右运动不包括电荷密度这一点显得清楚。由式(7)可知电流密度也是零。当给定初始场和 J=0 时,可以计算(1)和(2)两式的右边,以给出 H 和E的变化率xE--%-i(a1)xHa-(12)从法拉第定律式(11)衍出，当I=At时，H=iNe/μE,(e-rna'-cAtfe-na")(13)式中c=1/Veu，并且从安培定律式(12)，电场是E=Bi(e-a'-cAt -e*na)(14)当A时，,E场和H场等于原来的尚斯分布减去cAI乘以这些高斯分布的空间导数。但这些表示了原来的高斯分布在方向移动了cAt，证明这个关系确实适用于任何函数于(2)。f(2-A2) = (a) -%(15)在左边，(z-Az)是函数f(2)移动了4z。在右边的秦勤展开式取与1=AI时的场式(13)和(14)相同的式。于是，在时间A4内，E场和 H场的分布在十≥方向移动了cAt。此过程的重复表明丁示于图3.1.1中的场分布在十方向不改变形状以光速。传持=3×10°m/s(16)En注意，如果我们用任何其他的连续函数(z)代替初始的高斯函数，推导过程不会收变。回顾－下，应该认识到初始条件是预先考虑的，所以它们会导效单个波在十方向传播。此外，求解的方法确实不是数值的。如果我们对采取数值方法有兴题，必须注意避免误差的累积。上面的例子说明电磁波是由式（1）和(2）中左边的项电磁感应和位移电流的相互作用引起的。通过法拉第定律式(1),初始的 E的旋度意味着在稍后的时刻，初始的 H 变化了。类似地、安培定律要求初始的 H 的旋度导致 E的变化。同样，改变了的E 和H 的旋度分别意味行H和E的进一步变化。在本节中有两个主要论点。首先，用描述场与源的相互作用的定律扩大了的麦克斯韦方程组，能够充分描述电磁场的演变其次，在远离材料的区域，电磁场作为电磁波演变。典型地，场从一个区域传播到另一个区·52
域，慧如说经过距离L所需要的时间是(17)式中℃是光速。这些波的起源是分别由法拉第定律和安培定律得出的电磁感应和位移电流之间的耦合。如果这些项中的这一项或另一项被忽略，也就没有任何电磁波效应。3.2准静态定律从麦克斯韦方程组中忽略掉电磁感应或者位移电流，就获得准静态定律。电准静态磁准静态amH0VXE-4H(la) (1b)VXE-VxH-gE+J(2a)V×H-E+J~J(2b)eE-p(3a)(3b)V-eE-p(da) /VμoH=0VμoH-0(4b)由电磁感应和位移电流的耦合产生的电磁波在任一组准静态定律中因此就被忽路。在考虑支持这些近似定律的自变是的数量级之前,我们先判明它们不同的重要性顺序。在第 4 和 8 章中将要证明,如果一个矢量的旋度和散度是确定的,则该失量也是确定的。在EQS近似中，式(1a)要求E基本上是无旋，在MQS近似中，在式(2b)中忽路了位移电流，的。然后由式(3a)得出，如果电荷密度是已知同时式(4b)要求H是无傲的。因此，如果电流的,则E 的旋度和散度都是确定的。因此，高「密度是已知的，则 IH 的旋度和敏度都是已知斯定律和法拉第定律的EQS形式首先出现。的。从而安培定律的 MQS 形式和磁通连续性VeE-p(5a）条件首先出现。VXE=0(6a)VxH-J;V.J-0(5b-c)Vμ.H=0(6b)「由安培定律的近似形式陷含的是的连续性条件,由(5c)给出。在这些关系式中，没有时间导数。但这并不意味着源，从而场都不是时间的函数。但是给定某一瞬间的源，就可确定在间一瞬间的场，而与稍早瞬间场的源是什么无关。警喻地说，源分布的快照决定同一瞬间的场分布。“-股说来，场的源都是不知道的。相反，由于有使电荷运动的洛仑兹力定律，这些源是由场本身决定的。由于这个原因，场的时间变化率开始起作用。我们现在来引人保留有时间导数的方程。: 53: