为方便起见,我们常把pn记为1+an,则定理9.5.1的(1)又可表 达为:如果无穷乘积∏(+an)收敛,则iman=0。 定理951的(1)可类比于级数收敛的必要条件:通项趋于0。作 为无穷乘积收敛的必要条件,它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如,设pn2n+1 n ÷2n n 2 则无穷乘 n+1 2n+1 n+ 积∏pn,∏qn,∏都是发散的
为方便起见，我们常把 n p 记为 1 + an ，则定理 9.5.1 的(1)又可表 达为：如果无穷乘积∏ ∞ = + 1 )1( n an 收敛，则lim n→∞ an = 0。 定理 9.5.1 的(1)可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0。作 为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如，设 pn= n +12 n ，qn = 1 2 n + n ，r2n = n +12 n ， n−12r = 1 2 n + n ，则无穷乘 积∏ ∞ n=1 n p ，∏ ∞ n=1 n q ，∏ ∞ n=1 nr 都是发散的
例9.5.1设p (n=1,2,…),则部分积 n+1 门(k)= k 234n+1 n+ 由mP=0,可知无穷乘积∏I1 发散于0 n+1
例 9.5.1 设 p n = 1 1 1 + − n （ n = 1，2，…），则部分积 Pn = ∏= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − n k 1 k 1 1 1 = ∏= + n k k k 1 1 = 14 3 3 2 2 1 + ⋅⋅⋅⋅ n n " = 1 1 n + ， 由 n n P ∞→ lim = 0，可知无穷乘积 ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 1 1 n n 发散于 0
例9.5.2设pn=1-2,n=1,2,…,则部分积 2m) (2k-1)(2k+1) 2k) 2k·2k 1·3·3·5·5·7…(2n-1)(2n+ 2·2.44.6·6…(2n)(2n) 2n-1)! (2n+1) [(2n) 为了判断部分积数列{P}的收敛性,考虑积分 sin"xdx, 由例73.8,我们知道 n (2n)川! (2n)!! n
例 9.5.2 设 p n = 2 )2( 1 1 n − ，n = 1,2,…，则部分积 Pn = ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − n k 1 k 2 )2( 1 1 = ∏= ⋅ +− n k kk kk 1 22 )12)(12( = )2)(2(664422 )12)(12(755331 nn nn " " ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + = 2 2 ]!)!2[( ]!)!12[( n n − ⋅ n + )12( 。 为了判断部分积数列｛ Pn｝的收敛性，考虑积分 I n = π 2 0 sin d n x x ∫ ， 由例 7.3.8，我们知道 n I 2 = ⋅ − !)!2( !)!12( n n π 2 ， n +12 I = !)!12( !)!2( n + n
因此 P 由于21<12<l2n,可得 1< 因为 I lim =-=lm2n+1=1,由数列极限的夹逼性, n→ 2 lim p=lim T 于是得到无穷乘积∏|1 的收敛性,并且 2n)
因此 π 2 Pn = 12 2 n + n I I 。 由于 I n +12 < I 2 1 n < 2 n − I ，可得 << +12 2 1 n n I I 12 12 + − n n I I ， 因为 n ∞→ lim 12 12 + − n n I I = n ∞→ lim n n 2 +12 = 1，由数列极限的夹逼性， limn→∞ Pn = limn→∞ 2 2 1 2 π n n I I + ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 π ， 于是得到无穷乘积 ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 )2( 1 1 n n 的收敛性，并且 ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 )2( 1 1 n n = 2 π
将上式换一个形式表示,就得到著名的 Wallice公式 丌224466 2n 2n 335572n-12n+1
将上式换一个形式表示，就得到著名的 Wallice 公式 π 2 = ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 5 6 ⋅" 7 6 ⋅ − ⋅ 12 2 n n ⋅" +12 2 n n