2.余项估计令 R,(x)=f(x)-Pn(x)(称为余项)，则有R,(xo)= R′(xo) =...= R(n)(xo) = 0R,(x)(x-xo)n+R,(5)R,(x)-R,(xo)(Si在Xo与x之间)(x-xo)n+1_0(n+1)(i-xo)nR"(52)R,() -R'(xo)(52 在Xo与(n + 1)(5i - xo)"-0 ~ (n+ 1)n(52 - xo)n-1引之间)R(n"(E,)-Rm(xo)_ R(n+)(E)(在x与x之间)(n+l)!(n +1)...2(En -xo)-0HIGH EDUCATION PRESS返向
2. 余项估计 令 (称为余项) , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
CO00R人邮教育"x.(xp,(x)= f(x)+ f'(x)(x-x)+2!n!f(x）在x处的n阶泰勒多项式f(x)在x,处展开的泰勒系数k!
7 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! n f x p x f x f x x x x x ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n ( ) 0 ( ) ! k k f x a k 0 f ( x)在x 处的n阶泰勒多项式 0 f (x)在x 处展开的泰勒系数
01泰勒中值定理COAO人邮教育PS拉格朗日型余项1+2n+R,(x) :(在xo与x之间)x-xo(n+1)!佩亚诺型的余项f(n+l)()M)+R(x)(n+1)!(n + 1)!R,(x)lim0，及即 R,(x)=o[(x-x)"佩亚诺型余项x-→xo(x-o.-(x.所以f(x)=x-x)*+o[(x-x)"]k!k=0
佩亚诺型余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n (ξ在x0与x之间) 拉格朗日型余项 佩亚诺型的余项 即 0 ( ) [( ) ] n Rn 及 x o x x 0 0 ( ) lim 0, ( ) n n x x R x x x ( 1) 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n f M R x x x x x n n ≤ 所以 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) [( ) ] ! k n k n k f x f x x x o x x k 01 泰勒中值定理 8
01泰勒中值定理CO人邮教育RAf"(x)f("(x)f(x)= f(x)+ f(x)(x-x)+(x-x)"+R(x)2!n!f(n+l)D（)x.)n+R(x):注(n+1)!1.当n=0时.泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x)+f()(x-xo) (在x与xo之间)2. 取×=0,在0与x之间，令=x(0<0<1)则余项 R,(x)=()(@x)x+1(n+1)!3. 当x=0 时,取=0x(0<0<1),得麦克劳林公式
注 1. 当 n 0时. 泰勒公式变成拉格朗日中值公式 3. 当 时, 0 x 0 (ξ在x与x0之间) ξ在0与x之间, 则余项 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n n f x R x x n 0 2 x 0, . 取 令 x(0 1) 取 x(0 1), 得麦克劳林公式. 01 泰勒中值定理 9 0 0 f x f x f x x 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f x f x f x f x x x x x ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f x x x R x n ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n
R人邮教育本讲内容w,nyjiaoyu.c01泰勒中值定理02麦克劳林公式03几个重要初等函数的麦克劳林公式04泰勒公式的应用
01 泰勒中值定理 02 麦克劳林公式 03 几个重要初等函数的麦克劳林公式 04 泰勒公式的应用 本 讲 内 容