陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第四章 矩阵

三、矩阵的方幂1.定义设A为n级方阵，定义A' = A, Ak+1 = A*A,即,Ak -A·A.·Ak称 A为 A 的 k次幂

设 A 为 n 级方阵,定义 称 为 的 次幂. k A A k 1 1 , , k k A A A A A    三、矩阵的方幂 1.定义 , , k k 即 A A A A  

2.性质(l) A'A' =Ak+l, k,lez+(2) (A')=A", k,leZ+(3）一般地，（AB)"≠A*B;kez+(AB) = A*B* < AB = BA.00akez+(4)0

(3) 一般地 , ( ) ; k k k AB A B  (2) ( ) , , k l kl A A k l Z   (1) , , k l k l A A A k l Z     2. 性质 ( ) . k k k AB A B AB BA k Z     1 1 (4) , . 0 0 0 0 k k k n n a a k Z a a                   

(a100a1例5.设A=求.00n0(a2110解：2?221.220A?=元0元2元01122000(0002元(22231元0322213元23322022002122A" =AA==230022002001

解:                            0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 A 2 2 2 2 1 0 2 0 0               例5．设 求 1 0 0 1 , 0 0 A             . k A                               0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 1 2 2 2 3 2 A A A            3 3 2 3 2 0 0 0 3 3 3      

由此归纳出k(k-kak-12k22kkak-10(k ≥2)Ak=2k00用数学归纳法证明之当k=2时，显然成立，假设k=n时成立，则k=n+1时

由此归纳出    2 0 0 0 2 1 1 1 2                     k k k k k A k k k k k k k       用数学归纳法证明之. 当 k  2 时，显然成立. 假设 k  n 时成立，则 k  n  1时

2na"-12"02122"nan-1A"+1 = A"A=002100a"200(n + 1)n(n + 1)a"22n+1(n + 1)a"02n+100k(k-1)kak-1k-222akkak-10故对于任意k都有A=2k00

  , 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1                                         n n n n n n n n n n n n A A A 故对于任意 k 都有   . 0 0 0 2 1 1 1 2                    k k k k k k k k k k k A             , 0 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1                       n n n n n n n n n n      