陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第四章 矩阵

014-1 1 3(2132), B-[A:例2..201134(31)AB =而BA无意义一例3. 4-(7 ) B-(3 ±)-16 -32)BA=-(8 8),AB=AB± BA816

而 BA 无意义．   4 1 0 1 0 3 1 1 1 3 , 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4 A B              例2．   921 , 9 9 11 AB      16 32 , 8 16 AB        2 4 2 4 , 1 2 3 6 A B       例3．   0 0 , 0 0 BA  AB BA 

1例4.，B=(1,2,3)2A=311.22(1,2,3246AB=33 6BA = (1,2,3)2=(1×1+2×2+3×3)=(14)=143

例4．   1 2 , 1,2,3 3 A B             1 1 2 3 2 1,2,3 2 4 6 , 3 3 6 9 AB                     1 1,2,3 2 3 BA                (1 1 2 2 3 3)  (14) 14

注：(1) 一般地,AB± BA.若AB=BA，称A与B可交换(2）AB=0未必有A=0或B=0即A≠0且B≠0时，有可能AB=0.(3)AX=AY未必X=Y

注: (3) AX A  Y X Y 未必 ＝ ． 若 AB BA  ，称A与B可交换． (1) 一般地， AB BA  . 即 A  0 且 B  0 时，有可能 AB  0 ． (2) AB A B    0 0 0 未必有 或 ．

2.矩阵乘法的运算规律(结合律）(1)(AB)C = A(BC)(2)A(B+C) = AB+ AC（分配律）(B+C)A= BA+CA(3)AxE, =E,AxnZ.sxnsxn7sxn(4)A0 = 0,0A=0ba(5)han

2．矩阵乘法的运算规律 (1) ( ) ( ) AB C A BC  (2) ( ) A B C AB AC    (3) A E E A A s n n s s n s n      ( ) B C A BA CA    (5) 1 1 1 1 n n n n a b a b a b a b                      (结合律) （分配律) (4) 0 0, 0 0 A A  

证: 1) 设 A=(aj)sn’ B=(bjk)nm’ C=(Cu)mr令V=AB=(vik)sm’W = BC=(Wj)mrmnZZ其中a..bbVik =W.=jkCkikj=1k=1mmnVC 的第行第 1列元素为≥Z(agbikcuVikCklk=1k=1 j=1mn22a,bjkCulk=1 j=1nm2awu=>AZbAW的第i行第1列元素为aiCklikj-1j=1k=1mF-Za,bicu=≥abjkCu.j=1 k=1k=1 j=l

证：1）设 ( ) , ( ) , ( ) A a B b C c    ij sn jk nm kl mr 令 ( ) , ( ) , V AB v W BC w     ik sm jl nr 其中 1 1 , . n m ik ij jk jl jk kl j k v a b w b c       VC 的第i行第 l 列元素为 1 1 ( ) m n ij jk kl k j a b c      1 m ik kl k v c   1 1 m n ij jk kl k j a b c      AW 的第 i 行第 l 列元素为 1 n ij jl j a w   1 1 ( ) n m ij jk kl j k a b c      1 1 n m ij jk kl j k a b c      1 1 . m n ij jk kl k j a b c     