上式右端乘开后，所得多项式的常数项即为 c=(-)-22)…(-元n)=(-1)”元22…九 再对照3°，便知4°成立. 例5证明不可逆的方阵至少有一个特征值是零。 证设A为n阶方阵，其全部特征值是，2，…，n, 根据前面 己经证明的结论4°，有 A=2…元 己知A为不可逆的方阵，必有|A=0,从而 22…元n=0, 所以，至少有一个特征值人等于零。证毕。 13
13 n n n c0 (1 )(2 )( ) (1) 12 上式右端乘开后，所得多项式的常数项即为 再对照3° ，便知4°成立． 例5 证明不可逆的方阵至少有一个特征值是零。 证 设 A 为 n 阶方阵，其全部特征值是 1 ,2 ,,n , 根据前面 1 2 . A n 已经证明的结论4° ，有 已知A为不可逆的方阵，必有 | A| 0, 从而 1 2 0, n 所以，至少有一个特征值 i 等于零。证毕
第二节方阵相似于对角矩阵的条件 定义3对于n阶矩阵A,B,如果存在n阶可逆矩阵P,使P-AP=B 则说矩阵A相似于矩阵B(或说A与B相似)，记作A~B 相似是同阶方阵之间的一种关系.这种关系具有以下性质： i.反身性：对任何方阵A,总有A~A; iⅱ.对称性：若A~B,则B~A; ii.传递性：若A~B,B~C,则A~C 按定义3可知，与一个阶方阵A相似的矩阵有无穷多个，但是 任意两个n阶方阵却未必相似。 以可逆矩阵P对方阵A进行运算PAP称为对A的相似变换， P称为相似因子. 相似矩阵具有如下性质： 1°若A~B,则R(A)=R(B) 2°若A~B,则|AHB· 15
15 定义3 对于 阶矩阵 , , 如果存在 阶可逆矩阵 ,使 , 则说矩阵 相似于矩阵 (或说 与 相似)，记作 ～ ． P AP B 1 n A B n P A B A B A B 相似是同阶方阵之间的一种关系．这种关系具有以下性质： i．反身性：对任何方阵A ，总有A ～A ； ii．对称性：若 A～ B ，则 B ～ A ； iii．传递性：若 A ～ B ，B ～ C ，则 A ～C ． 以可逆矩阵 对方阵 进行运算 称为对 的相似变换， 称为相似因子． P 1 P AP A P A A 相似矩阵具有如下性质： 1°若 A ～ B ，则R( )=R( B )． 第二节 方阵相似于对角矩阵的条件 按定义3可知，与一个 n 阶方阵A相似的矩阵有无穷多个，但是 任意两个 n 阶方阵却未必相似。 2°若 A～B ，则 | A|| B| ．