吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第四章 方阵的特征问题与相似对角化

对于，=1，求解(2，E-A)x=0,即 2 -1 -1 0 解得基础解系52=(L,2,-1) 于是，A对应于特征值22=1的全部特征向量为 k52(k2为任意非零实数). 3 2-1 例3求矩阵B= -2-2 2 的特征值和特征向量. 6-1 解 计算B的特征多项式 1-3 -2 4 -元 0 4 - )HE-B上 2 -5+ 9+9 2+2 -2 2 元+2 -2 0 元+2 2 -3 6 +1 -3 6 +1 2-2 6 2+1 =(-2)2(2+4), 8

8 对于 ,求解 ，即                        0 0 0 1 0 1 4 2 0 2 1 0 3 2 1 x x x 解得基础解系 2 ξ  (1, 2, 1). 1 (2E  A)x  0  2  于是，A对应于特征值2  1的全部特征向量为 2 2 k ξ （ k 2为任意非零实数）． 例3 求矩阵            3 6 1 2 2 2 3 2 1 B 的特征值和特征向量． 解 计算 的特征多项式 3 1 3 1 2 3 2 1 4 0 4 ( ) | | 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 6 1 3 6 1 2 6 1 ( 2) ( 4), r r c c E B                                               B

可得B的特征值为，=元2=2，（二重），人3=-4， 对于2，=2，求解齐次线性方程组（亿E-B)x=0,得基础解系 -2 51= 52= 0 0 于是，B对应于特征值九，=2的全部特征向量为 k5,+k52（k,k2是不同时为零的任意实数) 对于入=-4，求解齐次线性方程组(2，E-B)x=0,得基础解系 53=(1,-2,3) 于是，B对应于特征值九2=4的全部特征向量为 k53（k为任意非零实数) 请仔细观察，例2、3中的两个矩阵的特征值和特征向量有那些相 同点，又有那些不同点？

9 可得 B 的特征值为 1 2     2 ,(二重)， 3   4, 对于 1  2，求解齐次线性方程组 (1E  B)x  0 ,得基础解系               1 0 1 , 0 1 2 1 2 ξ ξ 于是， 对应于特征值 的全部特征向量为 （ 是不同时为零的任意实数）. B 2 1  1 1 2 2 k ξ  k ξ 1 2 k , k 对于 3 4, 求解齐次线性方程组(3E  B) x  0,得基础解系 (1, 2, 3) 3 ξ    于是， 对应于特征值 的全部特征向量为 （ 为任意非零实数）. B 3 k 3 3 k ξ 2  4 请仔细观察,例2、3中的两个矩阵的特征值和特征向量有那些相 同点，又有那些不同点？

例4设矩阵A满足A2=A(这样的矩阵叫做幂等矩阵)，证 明A的特征值只能是0或1. 证设2为A的任一特征值，a是A对应于几的特征向量.于是 a≠0，且有 Aa=入a 利用已知条件又可得 Aa=Aa=A0a)=1(Aa）=λ2a, 于是有 12a=1a, 即 (2-2)a=0, 因为，0≠0所以必有22-1=0，即2=0或几=1· 10

10 例4 设矩阵 满足 （这样的矩阵叫做幂等矩阵），证 明 的特征值只能是0或 1． A A  A 2 A 证 设 为 的任一特征值， 是 对应于 的特征向量．于是 ，且有  A α A  α  0 Aα  λ α 利用已知条件又可得 Aα A α A α Aα α 2 2   (λ ) λ ( ) λ ， ， 于是有 λ α λ α 2 即 (  )α  0 2   . 因为 ，α  0 所以必有 2    0，即  0 或   1 ．

在本节最后，我们来讨论矩阵特征多项式和特征值的一些简单 性质. 设n阶矩阵A=[a,】，则A的特征多项式为 2-41 -a12 -41n W(2)2E-A= -021 1-a22 (4) -anl -an2 -am 由行列式的定义可知，()的最高次项必取决于均布项 (2-a1)(2-a22)…(2-anm） (5) 由此可知， 1°n阶矩阵A的特征多项式w(2)是一个首项系数为1的n次 多项式 若设 M)=2”+C12"++G2+C, 并设A的全部特征值为入1，几2，…，n,则可证明如下结果：1

11 在本节最后，我们来讨论矩阵特征多项式和特征值的一些简单 性质． 设 n 阶矩阵 A  [aij ] ，则 A 的特征多项式为 n n nn n n a a a a a a a a a                         1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) | E A| （4） 由行列式的定义可知， ()的最高次项必取决于均布项 (  a11 )(  a22 )(  ann ). （5） 若设 1 1 1 0 ( ) , n n n    c  c c       并设 A 的全部特征值为  1 ,  2 , ,  n ，则可证明如下结果： 由此可知， 1° n 阶矩阵 A 的特征多项式  () 是一个首项系数为1的 n次 多项式．

2°C-1=-(a1+a2++am) 3°( =(-1)”|A5 4°1A=22…2m 具体证明如下：行列式(4)中异于（⑤）的任何一个均布项至少有一 个因子为某常数-a,,于是九-a,及九-a,都不再是该均布项的因 子.与（⑤）相比，该均布项最多只能是1的n-2次多项式. 因此，w(2)的2”-项系数Cm-1也仅取决于均布项(5).而(5)式乘开 后，入”-的系数显然是 -(a11+a22+…+amm), 故2°成立. 又C=O)H0E-AH-A=(-1)”|A即得3°. 最后，因为A的每一个特征值2都对应着y(2)中一个一次因式 (-2),所以A的特征多项式必可表示为 w(2)=(元-1)(2-元2)…(2-人n) 12

12 具体证明如下：行列式(4)中异于(5)的任何一个均布项至少有一 个因子为某常数 ，于是 及 都不再是该均布项的因 子.与(5)相比，该均布项最多只能是 的 次多项式． ij  a ii   a   a jj  n  2 2° 1 11 22 ( ); n nn c a a a      1 2 | | . A    n 0 ( 1) | |; n 3° c   A 4° 因此， 的 项系数 也仅取决于均布项(5)．而(5)式乘开 后， 的系数显然是  () n 1  n1 c n1  11 22 ( ), nn  a  a  a 故2°成立． 又 0 (0) |0 | | | ( 1) | | 即得3°． n c   EA  A   A 最后，因为 A 的每一个特征值 都对应着 中一个一次因式 1 2 ( ) ( )( ) ( ),             n i () ( ),   i 所以 A 的特征多项式必可表示为