矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第 二、第三种初等变换: (i)对换矩阵中第,两行(列)的位置,记作 r(cn)减或rr(c>C) (i)用非零常数k乘第i(列),记作k;(kc;) i)将矩阵的第(列)乘以常数k后加到第i行 (列)对应元素上去,记作r+kr(c+kc
矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具 . 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第 二、第三种初等变换： ( ) ( ) ( ) , ( ) ij ij i j i j r c r r c c i i j 或 ↔ ↔ 对换矩阵中第 两行 列 的位置，记作 ( ) ( , ( ). i i ii 用非零常数 k乘第 i 行 列）记作kr kc , ( ). ( ) ( ) i j i j r kr c kc iii j k i （列）对应元素上去 记作 + + 将矩阵的第 行 列 乘以常数 后加到第 行
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 作用利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。例如: 2-382 1314 A=212-212 212-212 4/n 2-382 1314 314 r3-2n1 →|06-44->03-22 0-96-60-32-2 1314)利用初等变换将A化为B, →03-22A与B之间用记号→或 0000)三连接
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 3 1 4 2 12 2 12 2 3 8 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → − ↔ 2 3 8 2 2 12 2 12 1 3 1 4 1 3 r r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → − − − 0 9 6 6 0 6 4 4 1 3 1 4 3 1 2 1 2 2 r r r r ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → − 0 3 2 2 0 3 2 2 1 3 1 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 3 1 4 连接。 与 之间用记号 或 利用初等变换将 化为 ， ≅ A B → A B 作用 利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 例如：
102 102 100 A=020→020→>010 103 005 00 12-23 12 B=4-3312-0-11110 3-119 0-770 2-23 1000 >0110→>0100 0000 0000
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 5 0 2 0 1 0 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 1 1 9 4 3 3 12 1 2 2 3 B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 0 7 7 0 0 11 11 0 1 2 2 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
矩阵的等价 对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B,则称矩 阵A与B等价,记作A全B 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即: AA:AB→B≈A:AB,BC→AC 0…00…0A的标准形 0 00 0 A=00 10 m×n 00 00 定理:任何 矩阵都有标准形。 00 00 0
矩阵的等价 对矩阵 A实行有限次初等变换得到矩阵 B，则称矩 阵 A 与 B等价，记作 A B. ≅ 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即： A ≅ A ; A ≅ B ⇒ B ≅ A ; A ≅ B , B ≅ C ⇒ A ≅ C m n A I = × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≅ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 L L M M L M M L M L L L L M M O M M L M L L L L A的标准形 定理：任何一个 矩阵都有标准形
如上例: 1314 A→03-22>03-22 2 0000)c3 3c C 0000 4c C4-4C1 1000 0100 c3+C20000 CA 2 2 2÷3 推论:矩阵A与B等价的 充要条件是A与B 有相同的标准形
如上例： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 3 1 4 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → − − − − 0 0 0 0 0 3 2 2 1 0 0 0 4 1 3 1 2 1 4 3 c c c c c c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ÷ − + 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 2 3 2 3 2 4 2 3 2 r c c c c 推论 :矩阵 A 与 B 等价的 充要条件是A 与 B 有相同的标准形