分块矩阵 分块矩阵的概念 a1412a13a14 A=a21 a22 a A1412 23a24 21422 31a3233a34 a a 12a 13a14 2 13 =a21a22a23a24= A21A2 2423 a31a32a33a34 定义:将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块, 每一小块称为矩阵的子块(或子阵),以子块 为元素形成的矩阵称为分块矩阵
分块矩阵 一、分块矩阵的概念 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2221 1211 AA AA ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 232221 131211 AAA AAA 定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块， 每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块 为元素形成的矩阵称为分块矩阵
二、分块矩阵的运算 1线性运算加法与数乘 2乘法运算符合乘法的要求 3转置运算大块小块一起转 T A1 A 124 13 12 22 Ab1 Ab 21 2423 323 几种特殊的分块阵 准对角阵或 1准对角阵 分块对角阵 A 2 /(4为方阵,i=12,…,S) S
二、分块矩阵的运算 1.线性运算 加法与数乘 2.乘法运算 符合乘法的要求 3.转置运算 大块小块一起转 T T AAA AAA A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 232221 131211 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = TT TT TT AA AA AA 2313 2212 2111 三、几种特殊的分块阵 1.准对角阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A s A A A O 2 1 ( A i为方阵， = L si ),,2,1 准对角阵或 分块对角阵
88 A= B B 则育 (41,B为同阶方阵,i=12…,s) A1+ B A±B A±B2 A。±B KA A B1 A 2 B2 kA= AB KA A B S
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A s A A A O 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = B s B B B O 2 1 ,( BA ii 为同阶方阵， = L si ),,2,1 A ± B ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± ± ± = BA ss BA BA O 22 11 kA ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = s kA kA kA O 2 1 AB ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = BA ss BA BA O 22 11
A可逆→A可逆 (i=1,2…,s) r(A)=r(A1)+r(A2)+…+r(As) 牢记这些公式
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = Ts T T T A A A A O 2 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = ms m m m A A A A O 2 1 = 21 L AAAA s si ),,2,1( AA i = L 可逆 ⇔ 可逆 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = − − − − 1 1 2 1 1 1 As A A A O )()()()( = + 21 +L+ ArArArAr s 牢记这些公式！
例 1200 0100 A 求A的行列式,秩及逆。 0023 解:将矩阵分块 A →|4=141|42|=3 r(A)=4 1-200 0100 001 A 00 33 只须口算即可!
例 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3100 3200 0010 0021 A 解：将矩阵分块 求 A的行列式，秩及逆。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 A A A =⇒ AAA 21 = 3 Ar = 4)( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − 1 2 1 1 1 A A A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 2 3 1 00 1100 0010 0021 只须口算即可！