二次型及其标准形: 定义1:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x12x2…,xn)=a1x1+2a12x1x2+2a132x1x3+…+2a1nx1xn +a22x2+2a23x2x3+…+22mx2xn tax 33 3 +∴+2a 3n3 +……+an,x n n 称为n元二次型,简称为二次型。 定义2: V1=C11X1 C12x2 +.+Clnxn 若线性变换 V2=C21x1 C22x2 +..+ C2nIn CuIX1 +C nI x2 t.t Cnx n22 in n
一、二次型及其标准形 ： 定义 1：含有 个变量 21 L ,,, xxxn n的二次齐次多项式 n nn xxaxxaxxaxaxxxf 31132112 11 2 21 L ),,,( 111 += 2 + 2 L++ 2 nn xxaxxaxa 3223 22 2 222 ++ 2 L++ 2 nn 33 xxaxa 2333 L+++ 2 + L 2 nnn + xa 称为 n元二次型，简称为二次型。 定义 2： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++= +++= +++= nnn nnn nn nn xcxcxcy xcxcxcy xcxcxcy L LLLL L L 2211 2221212 2 2121111 1 若线性变换
的矩阵(c1 11 可道,则称线性变换为可逆 21C22 C2n线性变换; n×n 正交,则称线性变换为正交 变换。 nI Cn2 定义3:只含平方项的二次型,即形如 f(x2x2…,xn)=d1x2+d2x2+…+dnx2 称为二次型的标准形(或法式) 二、二次型的矩阵表示法: 设 则
的矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × = nn nn n n nn ccc ccc ccc C L MOMM L L 21 2221 2 1211 1 正交，则称线性变换为正交 变换。 定义 3： 2 2 22 2 21 11 ),,,( n nn L L+++= xdxdxdxxxf 只含平方项的二次型，即形如 称为二次型的标准形（或法式）。 二、二次型的矩阵表示法： 可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 设 = aa jiij ，则
f(1,x2,,xn)=a11-x1+a12x1x2+a13x1x3+.+anxin + a21x2x1 a22x2+a23I2x3+.+a2nx2xn tanlInx1tan2xnx2tan3xnx3t,,tannin C1x1+a10X+…+a1nxX nn "a21x1+a2x2+…+a2nxn aIX1tanx2 +.tax nnn x a x X1.x 2 n n2 nn n X AX 二次型的矩阵表示式
n nn xxaxxaxxaxaxxxf 31132112 11 2 21 111 L ),,,( L++++= nn xxaxxaxaxxa 3223 22 2 2221221 L+++++ 2 211 2 nnnnnn 33 nnn ++ L+++ xaxxaxxaxxa + LL ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n x x x M 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn nn n n aaa aaa aaa L MOMM L L 21 2221 2 1211 1 ),,,( 21 n = L xxx ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ +++ +++ nn nnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L LLLL L L 2211 222121 2 212111 1 ),,,( 21 n = L xxx X AX T = 二次型的矩阵表示式
11a12 二次型的矩阵 A= 21 22 (显然这是实x=2 对称阵) 2 定义4:设二次型f(x1,x2,…xn)=XAX则称对称矩阵A 的秩为二次型f的秩。 三、二次型经可逆变换后的矩阵: f(x1,x2,…xn)=XAX 作可逆变(CY)ACy)=y(CACy 换X=CY B=CAC→B1=B,YBY为二次型且A与B合同, r(A)=r(B).由上讨论可得:
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = nn nnnn aaa aaa aaa A L MOMM LL 21 2221 2 1211 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = n xxx X M2 二次型的矩阵 1 （显然这是实 对称阵） 定义4： ),,,( 21 n L xxxf X AX T 设二次型 = 则称对称矩阵 A 的秩为二次型 f 的秩。 三、二次型经可逆变换后的矩阵： ),,,( 21 n L xxxf X AX T = =CYX = 换 作可逆变 ACCB T = = BrAr ).()( 由上讨论可得： YACCYCYACY T TT = )()()( , BYYBB 为二次型且 与BA 合同, TT =⇒
定理1一次型/(x1x2xm)≥=X74X经可逆线性变换 X=CY变成新变元的二次型f=YBY,它的矩 阵B=CAC且r(A)=r(B) 四、正交变换化二次型为标准形:A 问题1:标准形的矩阵=? 问题2:将二次型化为标准形实际上是什么问题? 找可逆阵C,使CAC=A为对角阵 问题3:二次型能否化为标准形? 能!因为任意实对称阵都与对角阵正交合同
定理1 ).()( , ),,,( 21 BrArACCB CYX BYYf AXXxxxf T T T n = = = = = 阵 且 变成新变元的二次型 它的矩 二次型 L 经可逆线性变换 四、正交变换化二次型为标准形： ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =Λ n d d O 1 将二次型化为标准形实际上是什么问题？ 找可逆阵 ,使 ACCC Λ= 为对角阵. T 问题1：标准形的矩阵 = ？ 问题3：二次型能否化为标准形？ 能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。 问题2：