矩阵 矩阵的秩及其求法 1.利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩 例1设A=(an)m为非零矩阵,A为a的代数余子式, 若an=A,求r(A) 解因为A≠0,所以至少有一个元素an≠0 将|A|按第i行展开,有
矩阵 一 . 矩阵的秩及其求法 1. 利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩. ).( )( 1 ArAa aA aA ijij nnij ijij ＝若 ，求 设例 = × 为非零矩阵， 为 的代数余子式， 解 因为A ≠ 0 ，所以至少有一个元素aij ≠ 0； 将 按第iA || 行展开，有
1A=∑a4=∑a>0 故r(A)=n 注:我们一般在两个地方用到A;一是行列式按行(列)展开 另一个是A*;若在A*中用,这时题目常常与求逆有关 例2设A为n阶方阵且r(A)=n-2,求r(A*) 解由r(4)=n-2知:A的所有n-1阶子式全为零, 故A*=0,从而r(A*)=0
|| ,0 1 2 1 ∑∑ >== = = n j ij n j ijij aAaA 故 = nAr .)( 另一个是 若在； * * 中用，这时题目常常与求逆有关. 注：我们一般在两个地方用到 ；一是行列式按行（列）展开； AA Aij 为设例 nA 阶方阵且 Ar ＝n－ ，求 A*r .)( 2)( 2 由解 = − 2)( 知： 的所有nAnAr − 1阶子式全为零， 故 A = ，从而 Ar = .0*)(0*
例3设A= 若r(A)=3,求a 解因为r(4)=3,所以|A0,目 A|= (a+3)(a-1)=0 当a=1时,A
.3)( 111 111 111 111 3 aAr a a a a 设例 A ，若 = ，求 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = 解 因为 Ar = ，所以 A = 0||3)( ，即 .0)1)(3( 111 111 111 111 || 3 = aa =−+= a a a a A 当 时， ， 1)( ； 1111 1111 1111 1111 1 = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ A a == Ar
当a=-3时,41-311 由于A的3阶子式 31=-16≠0, r(4)=3,故a=-3 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式,见例4
当 时， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ − − − − =−= 3111 1311 1131 1113 3 A a ＝－ ， － － － 阶子式的由于 016 311 131 113 A 3 ≠ = ，故aAr = − .33)( 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4
例4设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m>n, 求证|AB=0 证因为r(AB)≤r(4)≤min{m,n}=n,而AB为m阶方阵, 且m>n,故AB为降秩方阵,从而|AB=0. 2.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,就是利用初等变 换将A化为阶梯阵,然后由阶梯阵的秩确定A的秩 这是一类非常基本的题目,必须做到会做且做对
.0|| 4 = × × > AB mnBnmA nm 求证 为设例 矩阵， 为 矩阵，且 ， . 0|| },min{)()( > = ≤≤ = ABnm AB mABnnmArABr 且 ，故 为降秩方阵，从而 因为证 ，而 为 阶方阵， 2. 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变 换将 A 化为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定 A 的秩. 这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对