二次型 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法:(1)正交变换法;(2)配方法 例1用正交变换法将二次型f(x12x2,x3)=2x1+x2-4x2 4x2x3化为标准形,并求出所用的正交变换矩阵 解二次型的矩阵为 2 220 020 2
二次型 一 . 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法. 4 . 1 42),,( 32 21 2 2 2 321 1 化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵 例 用正交变换法将二次型 xx xxxxxxxf − −+= , 020 212 022 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − A = 解 二次型的矩阵为
由A-E=-21--2=(-1)(-4)2+2, 0-2- 得A的特征值为41=1,2=43=-2; 其对应的特征向量为a1=(-2,-1,2),a2=(2,-2,1),a3= ,2,2),因为4,2,23互异,故a2a2ax3两两正交,将它 们单位化,得 71 221 于是所求正交变换的矩阵为Q 1-22 212
得 的特征值为 ； 由 ， 2,4,1 )2)(4)(1( 20 212 022 || 21 3 −=== +−−= −− −−− −− =− λλλ λλλ λ λ λ λ A EA 们单位化，得 ，因为 互异，故 两两正交，将它 其对应的特征向量为 ,, ,, )2 ,2 ,1( ,)1 ,2 ,2(,)2 ,1 ,2( 321 321 1 2 3 λλλ ααα α α α T T T =−=−−= . 3 1 , 3 1 , 3 1 1 21 32 === αηαηαη 3 , 212 221 122 3 1 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −−− 于是所求正交变换的矩阵为Q =
令X=QH,则二次型化为标准形y2+4y2-2y3 注:将二次型厂用正交变换化为标准形的一般步骤为: (1)写出二次型f的矩阵A; (2)求出A的全部相异特征值1,2…,,对每一个r1重特征值 λ,求出对应的r个线性无关的特征向量,并利用施密特正交化 方法将其正交单位化,将上面求得的r1+r2+…+rn=n个两两正 交的单位向量作为列向量,排成一个n阶方阵Q,则Q为正交阵 且Q1Ag=QAg=A为对角阵; (3)作正交变换X=QY,即可将二次型化为只含平方项的标准 形 f-XAX-Y(OAO)Y=YAY. 例2用配方法化二次型f(x12x2x2,x)=x1x2+x1x3+xx4 +x2x3+x12x4+x3x4为标准形,并写出所用线性变换的矩阵
.24 23 22 21 令 = QYX ，则二次型化为标准形 −+ yyy 注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为： (1) 写出二次型 f 的矩阵 A； (2) 求出 A 的全部相异特征值 λ1, λ2,…, λm，对每一个 ri 重特征值 λi，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化 方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n 个两两正 交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，则 Q 为正交阵 且 Q－1AQ=QTAQ=Λ 为对角阵； (3) 作正交变换 X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准 形： f=XTAX=YT (QTAQ)Y=YT ΛY. . 2 ),,,( 434232 4131214321 为标准形，并写出所用线性变换的矩阵 例 用配方法化二次型 xxxxxx xxxxxxxxxxf +++ = + +
x1=y1+y2, 解 x2=y1-y2 4 4 则二次型化为 f=y2-y2+2y1y3+2y1y4+y3y4 =(y1+y3+y4) y3-y4-y3y4 2 =(y1+y3+y)2-y2-|y3+y4
则二次型化为 令解 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −= += , , , , 44 33 212 211 yx yx yyx yyx .3 (*) 4 3 2 1 ( ) ( ) 22 2 4 2 3 2 2 2 1 2 4 2 43 2 2 2 431 43 2 4 2 3 2 2 2 431 434131 2 2 2 1 zzzz yyyyyyy yyyyyyyy yyyyyyyyf −−−= ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−−++= −−−−++= +++−=
其中 1=y1+y3+y4 4 或 三22 y3=2 4 4 所用线性变换的矩阵为 C 001-1 0002 即令X=CZ,则f
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = −−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = += = ++= .2 , , , , 2 1 , 2 1 , , 44 433 22 4311 4 4 33 4 22 4311 zy zzy zy zzzy yz yyz yz yyyz 或 其中 , 2000 1100 1111 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−− −− C = 所用线性变换的矩阵为 .3 2 4 2 3 2 2 2 1 即令 = ，则 −−−= zzzzfCZX