n维向量 n维向量及其线性运算 、n维向量的概念 1定义1:由数a1.a2.…an组成的有序数组,称为 n维向量,简称为向量。 向量通常用斜体希腊字母α,β,〃等表示 a=(al. a 2 ●● n 列向量 行向量 2 T C =(a1,2, ai第个分量
n 维向量 n 维向量及其线性运算 一、n 维向量的概念 维向量，简称为向量。 由数 组成的有序数组，称为 n aaa ,2,1 L n 向量通常用斜体希腊字母 ,, γβα 等表示。 ),,,,( 21 n = L aaa 1.定义1: α 行向量 T n n aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ α = 列向量 ai 第i个分量
c1112…C1n i1,ui2 21 22 a2n i=1,2,…m 1m2 矩阵A的行向量 矩阵A的列向量0=(00) 2 j 零向量 T C 02J j=1,2,…,n 负向量 维数相同,即同型 a=Be b;L=1.2
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 .,2,1 ),,,( 21 mi aaa inii L L = T mjjj mj j j aaa a a a ),,,( 21 2 1 L M = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = L,,2,1 nj 矩阵 A的行向量 矩阵 A的列向量 0 = ( 0,0,···,0 ) ),,,( 21 n − α = − − L −aaa ⎩ ⎨ ⎧ == ⇔= niba .,,2,1, ii L 维数相同，即同型。 βα 零向量 负向量
2定义2:a=(a12,an数值Va2+n2+…+a 称为向量a的长度或范数或模,记为l =1称a为单位向量a=人>0 al=0÷a=0a≠0→k ,,=),B=( =(1.0,…,0),e2=(0,12…0) n (0,0,…,1) 二、n维向量的线性运算设向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 加法:a+B=(a1+b1,a2+b2,…an+bn) 2减法:a-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)
2.定义2: 称为向量 的长度或范数或模 记为 。 数值 α α α , ),,,,( 2 2 2 2 21 n 1 n = L aaa L+++ aaa αααα >⇒≠=⇔= 0000 = 1称αα 为单位向量。 ) 2 1 , 2 1 (), 3 1 , 3 1 , 3 1 α = ( β = ).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( e1 = L e2 = LL en = L 二、n 维向量的线性运算 ),,,( 1.加法: α + β = + + 2211 L + bababa nn ),,,( α − β = − − 2211 L − bababa nn ),,,,( 21 n α = L aaa ),,,,( 21 n β = L bbb 2.减法: 设向量
3数乘:ka=(ka1,ka2,…,kan) 线性运算满足8条运算规律,见教材. 向量组的线性相关性 、线性相关性 1定义:设向量B1,a2,…,am,若存在一组数 k1,k2,…,km使 B=k1a1+k2a2+…+kmm 则称向量可由向量a1,a2,…,an线性表示, 或称向量B是向量a12a2…,am的线性组合。 a=(a1,a2,…,an)=a1e1+a2e2+…+anen
3.数乘: ),,,( 21 n α = L kakakak 线性运算满足8条运算规律,见教材. 向量组的线性相关性 一、线性相关性 1.定义1: 使， 设向量 ，若存在一组数 m m ,, kkk ,,,, 21 21 L L αααβ β = α + kk α 2211 +L+ k α mm 则称向量β可由向量 21 L,,, ααα m线性表示， 或称向量 是向量 21 L,,, αααβ m的线性组合。 n nn = L = + +L+ eaeaeaaaa 21 2211 α ),,,(
2定义2设向量组a1,a2…,am,若存在一组不全为 零的数k1,k2,…km使 k1a1+k22+…+kmOm=0 则称向量组a1,a2,…,m线性相关。否则 称向量组a1,a2…,am线性无关 (1)当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关 (2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例 (3)任一含有零向量的向量组线性相关 3讨论向量组的相关性:
2.定义2: 零的数 使， 设向量组 ，若存在一组不全为 m m ,, kkk ,,, 21 21 L L ααα α + kk α 2211 +L+ k α mm =0 则称向量组 21 L,,, ααα m线性相关。 称向量组 21 L,,, ααα m线性无关。 否则 (1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关. (2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. (3) 任一含有零向量的向量组线性相关. 3.讨论向量组的相关性：