实对称矩阵的相似对不 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 设几是n阶实对称矩阵A的特征值,a=(a1,a2,…,an) 是对应的特征向量,即Aa=、a,两边取共轭,得: Aa=na o A=(ai)nxn, a 由于A为实对称阵,故A=A=A(1)两端取转置,得: aA=→aA=ar 两端同时右乘a→aA=aa→4aa=aa →(2-)27a=0:aa=|l2≠0:=元 性质2:实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。—对一般矩阵,只能保证相异特征一 值所对应的特征向量线性无关
实对称矩阵的相似对角化 一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质： ,),,,(,)( 21 T = aA ×nnij α = L aaa n T 由于 A为实对称阵，故 == AAA 性质 1：实对称矩阵的特征值都是实数。 是设 n阶实对称矩阵 A的特征值, λo （ 1）两端取转置，得： TT T A = oαλα 两端同时右乘 α ααλααλ T T o =⇒ o Q 0 =∴≠= λλααα oo T 2 性质 2 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交 。 对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。 T n aaa ),,,( α = 21 L 是对应的特征向量,即 A α = λo α，两边取共轭，得： αλα )1( A = o T T A =⇒ oαλα ααλααT T A =⇒ o ααλλ =−⇒ 0)( T oo
例:设1,1,-1是三阶实对称方阵A的3个特征值, 2=(2,2)是A的属于特征值的特 征向量,求A的属于特征值-1的特征向量。 设4的属于特征值-1的特征向量为a3=(x,x2,x3), a3与a1,a2正交,∴(C3,1)=(a3,a2)=0 /x1+x2+x3=0 12x+2x2+x3=0 A 00-1)(001 x → a3=(1,-10
征向量，求 的属于特征值 的特征向量。 是），，（），，（ 的属于特征值 的特 例：设 ，， 是三阶实对称方阵 的 个特征值， 1 122,111 1 111 3 1 2 − = = − A A A T T α α 1 , 3213 T 设 A的属于特征值 − 的特征向量为 α = xxx ），，（ Q 与 ,ααα 213 正交， ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ ⇒ 22 0 0 321 321 xxx xxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 122 111 A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 100 111 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 100 011 ⎩ ⎨ ⎧ = −= ⇒ 0 3 12 x xx ），，（ T 011 α3 −=⇒ , 0, ∴ α α =（）（ α α 2313 ） =
性质3:实对称矩阵A的重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出:实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 二、实对称矩阵的相似对角化: 定理1:实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 定理2:实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。 22 例1:设A=-2-24(1)求可逆阵P,使PAP为对角阵 (2)求正交阵Q,使QAQ为对角阵 LA-ZE λ22 2-14 (4+7)(-2)2 4-2-2
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 二、实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。 求正交阵 ，使 为对角阵。 例 ：设 ， 求可逆阵 ，使 为对角阵。 AQQQ A APPP 1 1 )2( )1( 242 422 221 1 − − ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = λ λ λ λ −− −−− −− =− 242 422 1 22 EA 2 λλ −+−= )2)(7( 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似
=-7,2=13=2 x1=-7的特征向量为51=(1,2,-2) 52=(-210)7,53=(2,01)为属于特征值2的线性无关的特 征向量 7 P=(51 0|→PAP=A 2 20 将1=(,2,-2)单位化,得:m(122yT 将2=(-2,10),3=(2,0.)正交化,得: B2 =52=(-2,1.0)7 B3=53 (3,B2) B2=2(245) B2, B 再单位化,得: 21 245 72=( 3√53√53
⇒ λ1 = − ,7 λ = λ32 = .2 T T)1,0,2(,)0,1,2( ξ 2 −= ξ 3 = 7 .)221( 1 1 T λ −= 的特征向量为 ξ ，， −= 为属于特征值 2的线性无关的特 征向量. ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 102 012 221 P ξξξ 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =Λ=⇒ 2 2 7 1APP . 3 2 3 2 3 1 )221( 1 1 ，，将 T 单位化，得： ），，（ T ξ −= η −= 将 ξ 2 −= T ξ 3 = )1,0,2(,)0,1,2( T 正交化，得： 再单位化，得： T T ) 53 5 , 53 4 , 53 2 ()0, 5 1 , 5 2 ( η2 −= ， η3 = T T)5,4,2( 5 1 )0,1,2( 2 22 23 22 −== 33 −= β = ββ ξ β ξβ ξβ ），（ ），（
22 3√535 2 4 Q=(7h 0 7 →QAQ=A= 2 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤:
( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 2 53 2 5 2 3 1 Q ηηη 321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ =Λ= − 2 2 7 1AQQ 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：